Complete Binary Search Tree

Complete Binary Search Tree

A Binary Search Tree (BST) is recursively defined as a binary tree which has the following properties:

  • The left subtree of a node contains only nodes with keys less than the node's key.
  • The right subtree of a node contains only nodes with keys greater than or equal to the node's key.
  • Both the left and right subtrees must also be binary search trees.

A Complete Binary Tree (CBT) is a tree that is completely filled, with the possible exception of the bottom level, which is filled from left to right.

Now given a sequence of distinct non-negative integer keys, a unique BST can be constructed if it is required that the tree must also be a CBT. You are supposed to output the level order traversal sequence of this BST.

Now given a sequence of distinct non-negative integer keys, a unique BST can be constructed if it is required that the tree must also be a CBT. You are supposed to output the level order traversal sequence of this BST.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each case, the first line contains a positive integer N (≤). Then N distinct non-negative integer keys are given in the next line. All the numbers in a line are separated by a space and are no greater than 2000.

Output Specification:

For each test case, print in one line the level order traversal sequence of the corresponding complete binary search tree. All the numbers in a line must be separated by a space, and there must be no extra space at the end of the line.

Sample Input:

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Sample Output:

6 3 8 1 5 7 9 0 2 4

 

解题思路

　　这题有点难度，当时自己想了快一个小时也没有想出来正确的解法。因为题目中的树是完全二叉树，所有当时很自然就想到堆，但是我所知道的堆操作都是基于最大堆或最小堆，而题目中的树同时又是颗二叉搜索树，所以不可以直接套用堆的算法。所以当时尝试模拟插入节点来构造这颗CBT，结果根本找不到规律。最后看别人的博客还有姥姥讲解这题，发现解法和我的思路完全不一样，emmm...。

　　首先第一个问题是，我们用什么样的数据结构来存储这颗树？用链表，还是数组？因为CBT是一颗完全二叉树，所以当然是用数组啦。当时完全没有现过这个问题，直接无脑链表，以后应该尽量避免这种固定思维。

　　同时，因为用的是数组，所以最后要求的层次遍历打印输出CBT就变得很简单了。

　　然后第二个问题是，我们怎么样去生成这颗CBT？我们先根据Sample Output来画出题目给的CBT：

　　对这颗CBT进行中序遍历，就会发现序列的数字大小是按升序排列好的。当然，这也说明CBT的其中一个性质：比根节点小的值都在左子树，比根节点大的值都在右子树。

　　所以，我们可以根据下面这个方法来找到CBT的根节点。

　　首先，我们要把输入的数字按升序进行排序，然后算出这颗CBT左子树的节点个数LTNum。那么从数组最左边开始数LTNum个数，则下一个元素就是要找根节点。

　　找到了根节点后，构造CBT的左子树，右子树，就完成了整颗CBT的构造了。

　　再根据CBT的性质，CBT的左子树和右子树也是CBT，所以构造左子树和右子树的方法和上面是一样的，因此我们可以用递归来解决构造CBT这个问题。

　　递归函数的定义如下：根据所要构造的CBT的节点个数，计算出CBT左子树的节点个数，从而找到根节点，把根节点存放到CBT数组对应的下标位置中。然后递归去构造同样是CBT的左子树，递归去构造同样是CBT的右子树。

 1 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root) {     // a是排好序的数组，CBT数组用来存放我们构造的CBT，aLeft是a数组最左边的位置，aRight是a数组最右边的位置，root是BTC根节点的位置 
 2     int n = aRight - aLeft + 1;                                     // n是CBT的节点的个数 
 3     
 4     if (n == 0) return;                                             // 递归终止条件就是CBT的节点个数为零 
 5     else { 
 6         int leftNum = getLeftNum(n);                                // getLeftNum函数就是用来算出左子树节点的个数 
 7         CBT[root] = a[aLeft + leftNum];                             // 在a数组找到根节点的位置，并把它存放到CBT对应的位置中，也就是CBT根的位置 
 8     
 9         solve(a, CBT, aLeft, aLeft + leftNum - 1, 2 * root + 1);    // 递归解决左子树，a数组的最左边的下标仍然是aleft，最右边的下标变成了aLeft + leftNum - 1，也就是根节点的上一个元素，左子树的根就是2 * root + 1 
10         solve(a, CBT, aLeft + leftNum + 1, aRight, 2 * root + 2);   // 递归解决右子树，a数组的最左边的下标变成了aLeft + leftNum + 1，也就是根节点的下一个元素，最右边的下标仍然是aRight，右子树的根就是2 * root + 2 
11     }
12 }

　　解释一下，我们找到了根节点的位置后，那么根节点左边的元素都在左子树，右边的元素都在右子树。就像上图中，6是根节点，所以左边也就是绿色的部分就位于左子树，右边也就是白色的部分就位于右子树，所以递归传入的a数组下标会因为这个而改变。

　　那么左右子树的根节点呢？首先我们是从0开始编号的，再根据完全二叉树的性质，左子树的根节点下标就是根节点的下标的2*root+1，右子树的根节点就是根节点的下标的2*root+2。当时我还想了很久，怎么确定那个root传入什么，不知道为什么完全想不起二叉树这个性质。

　　很自然的，第三个问题是，怎么样算出左子树的节点个数？

　　这里给出两种方法，先给出姥姥讲的方法。

　　首先我们可以把CBT的节点分为两个部分，第一个部分是CBT中最大的满二叉树，第二部分就是最后一层剩下的节点。

　　假设CBT的节点个数为n，则有公式 2H - 1 + X = n ，所以有 H = ⌊log2(n+1-X)⌋ 。

　　在这里X的取值范围是 X ∈ [0, 2H-1] 。当X为0，就意味着这颗CBT是一颗满二叉树。当X小于2H-1，就表明最后一层的节点并不满，也就是有上图红色的那部分的节点存在。而X不可能是2H，是因为这意味着最后一层的节点满了，按理来说这颗CBT应该是满二叉树，X应该为0才对。

　　所以，上面的H可以写成 H = ⌊log2(n+1)⌋ ，H是最大的满二叉树的高度，不是CBT的高度。

　　因此知道，满二叉树的节点个数是2H-1，可是我们是要左子树的高度啊，也就是蓝色这个部分加上红色这部分。

　　对于蓝色的部分，很简单，可以用满二叉树的节点个数，减去1，也就是根节点，再除以2。 leftNum = (2H - 1 - 1) / 2 = 2H-1 - 1 。又或是按照归纳的方法，既然H高度的满二叉树的节点个数是2H - 1，又因为满二叉树的左子树的也是满二叉树，只不过高度为H -1，所以蓝色的部分的节点个数就是2H-1-1。

　　红色部分更简单，直接用总节点个数减去满二叉树节点个数，也就是 X = n - (2H - 1) = n - 2H +1 ，对于上图的CBT，这样确实没有错。可是真的是这样子吗？

　　如果是这颗树呢？

　　很明显，我们X应该是红色那部分的节点个数。如果按照上面的计算结果，那么会把右边那两个也计进来。

　　所以，真正的剩余节点个数应该是 min(X, 2H-1) 。这里的2H-1是最后一层最大节点数的一半， 2H+1-1 / 2 = 2H-1 ，也就是说，如果X比最后一层一半的节点还多，那么多出来的那部分节点不要了，就直接取2H-1。

　　最后，左子树的节点个数就是蓝色的部分加上真正剩余节点个数。

　　所以我们计算左子树的函数是：

1 int getLeftNum(int n) {
2     int FBTHeight = (int)log2(n + 1);                       // 最大满二叉树的高度 
3     int partOfleft = (int)pow(2, FBTHeight - 1) - 1;        // 满二叉树左子树的节点个数 
4     
5     int x = n - (int)pow(2, FBTHeight) + 1;                 // 最后一层的节点个数，也就是剩余的节点 
6     int leftOver = std::min(x, (int)pow(2, FBTHeight - 1)); // 其中属于左子树的节点个数是X和最后一层最大节点数的一半中，最小的那个 
7     
8     return partOfleft + leftOver;                           // 返回左子树的节点数 
9 }

 　　下面给出这个题目的AC代码。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <algorithm>
 4 
 5 int getLeftNum(int n);
 6 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root);
 7 
 8 int main() {
 9     int n;
10     scanf("%d", &n);
11     
12     int a[n], CBT[n];
13     for (int i = 0; i < n; i++) {
14         scanf("%d", &a[i]);
15     }
16     
17     std::sort(a, a + n);
18     solve(a, CBT, 0, n - 1, 0);
19     
20     for (int i = 0; i < n; i++) {
21         if(i) putchar(' ');
22         printf("%d", CBT[i]);
23     }
24     
25     return 0;
26 }
27 
28 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root) {
29     int n = aRight - aLeft + 1;
30     
31     if (n == 0) return;
32     else {
33         int leftNum = getLeftNum(n);
34         CBT[root] = a[aLeft + leftNum];
35     
36         solve(a, CBT, aLeft, aLeft + leftNum - 1, 2 * root + 1);
37         solve(a, CBT, aLeft + leftNum + 1, aRight, 2 * root + 2);
38     }
39 }
40 
41 int getLeftNum(int n) {
42     int FBTHeight = (int)log2(n + 1);
43     int partOfleft = (int)pow(2, FBTHeight - 1) - 1;
44     
45     int x = n - (int)pow(2, FBTHeight) + 1;
46     int leftOver = std::min(x, (int)pow(2, FBTHeight - 1));
47     
48     return partOfleft + leftOver;
49 }

　　下面的给出另外一种计算左子树节点个数的方法。这个方法是我自己想出来的，比较直接，好理解。

　　既然知道了节点的个数，那么这颗CBT的高度就是 h = ⌊log2n⌋ + 1 ，那么h-1层之前的（包括第h-1层）节点数就为2h-1-1，这也对于最大满二叉树的节点个数。又因为我们要的是左子树的个数（也就是上图蓝色的那部分），所以要先减去根节点，再除以2。也就是 (2h-1 - 1 - 1) / 2 = 2h-2 - 1 个。

　　接下来X也是同样的计算方法， X = n - (2h-1 - 1) = n - 2h-1 +1 。

　　同样的，真正的剩余节点个数应该是 min(X, 2h-2) 。

　　代码改变的部分如下：

 1 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root) {
 2     int n = aRight - aLeft + 1;
 3     
 4     if (n == 0) return;
 5     else if (n == 1) CBT[root] = a[aLeft];
 6     else {
 7         int leftNum = getLeftNum(n);
 8         CBT[root] = a[aLeft + leftNum];
 9     
10         solve(a, CBT, aLeft, aLeft + leftNum - 1, 2 * root + 1);
11         solve(a, CBT, aLeft + leftNum + 1, aRight, 2 * root + 2);
12     }
13 }
14 
15 int getLeftNum(int n) {
16     int height = (int)log2(n) + 1;
17     int partOfleft = (int)pow(2, height - 2) - 1;
18     int leftOver = std::min(n - (int)pow(2, height - 1) + 1, (int)pow(2, height - 2));
19     
20     return partOfleft + leftOver;
21 }

　　需要注意的是，这种方法不可以计算节点个数为1的情况，所以我们在递归函数中增加n == 1的情况。

　　这种方法的AC代码如下。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <algorithm>
 4 
 5 int getLeftNum(int n);
 6 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root);
 7 
 8 int main() {
 9     int n;
10     scanf("%d", &n);
11     
12     int a[n], CBT[n];
13     for (int i = 0; i < n; i++) {
14         scanf("%d", &a[i]);
15     }
16     
17     std::sort(a, a + n);
18     solve(a, CBT, 0, n - 1, 0);
19     
20     for (int i = 0; i < n; i++) {
21         if(i) putchar(' ');
22         printf("%d", CBT[i]);
23     }
24     system("pause");
25     return 0;
26 }
27 
28 void solve(int *a, int *CBT, int aLeft, int aRight, int root) {
29     int n = aRight - aLeft + 1;
30     
31     if (n == 0) return;
32     else if (n == 1) CBT[root] = a[aLeft];
33     else {
34         int leftNum = getLeftNum(n);
35         CBT[root] = a[aLeft + leftNum];
36     
37         solve(a, CBT, aLeft, aLeft + leftNum - 1, 2 * root + 1);
38         solve(a, CBT, aLeft + leftNum + 1, aRight, 2 * root + 2);
39     }
40 }
41 
42 int getLeftNum(int n) {
43     int height = (int)log2(n) + 1;
44     int partOfleft = (int)pow(2, height - 2) - 1;
45     int leftOver = std::min(n - (int)pow(2, height - 1) + 1, (int)pow(2, height - 2));
46     
47     return partOfleft + leftOver;
48 }

 

参考资料

　　浙江大学——数据结构：https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001?tid=1461682474

posted @ 2021-03-28 09:45  onlyblues  阅读(203)  评论(0)  编辑  收藏  举报
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