Leetcode 494 Target Sum 动态规划 背包+滚动数据

这是一道水题，作为没有货的水货楼主如是说。

题意：已知一个数组nums {a1,a2,a3,.....,an}（其中0<ai <=1000(1<=k<=n, n<=20)）和一个数S

        c1a1c2a2c3a3......cnan = S, 其中ci(1<=i<=n)可以在加号和减号之中任选。

        求有多少种{c1,c2,c3,...,cn}的排列能使上述等式成立。

例如：

输入：nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3.
输出 : 5
符合要求5种等式:

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

但是看完题的你们说，楼主这个题目的难度是中等题呀!

好吧，楼主说错了，它是中等题，但毋庸置疑这是一道动态规划的水题，是一个背包问题，不知道的背包问题的同学请百度下《背包九讲》。

注意：看那个《背包九讲》可能开始会感到生涩难懂，但是前方高能东西都是牛逼的东西。

回归到本题中，乍一看它是一个搜索问题，即搜索出所有可能的解即可，因为n最多为20，搜索一把也能顺利完成，解决也是比较容易的。

但是就没有更好的方法了吗？这时我们注意到0<ai <=1000这个条件，这么小的数值让我们很快联想到了动态规划。

没错，这是一个多阶段的背包问题，其中的难点是负数这么表示。

我们可以将[-max,max]映射到[0,2*max]就解决问题了。

我们现在可以想出以下的状态转移方程:

dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]] + dp[i-1][j+a[i]](1 <= i <= n, 0< j < 2 * sum(a[i]) + 1)

即i代表有多少个数，j - sum(a[i])代表每一种算出来的答案，dp[i][j]代表在答案j - sum(a[i])的情况下的c1,c2,c3,...,ci}的排列牌数。很明显当前的状态dp[i][j]是从上一次（i-1）的数加上当前的 a[i]得到的。

这样我们只要开出一个n * (2 * sum(a[i]) + 1)的数组，在O(n * (2 * sum(a[i]) + 1))的时间复杂度下解决这个问题。

那么还可以优化吗？答案是肯定的。

我们从状态转移方程中不难看出，在每一次转移的时候都只用了i-1次的答案和i次的结果，为此我们可以使用滚动数据对它进行优化。

只要我们开出2 * （2 * sum(a[i]) + 1）的数据，这样我们又再次优化了内存。

即我们可以在时间复杂度为O(n * (2 * sum(a[i]) + 1)) 和空间复杂度(2 * (2 * sum(a[i]) + 1)) 的情况下解决该问题。

下面上golang的代码(居然没有golang的语言编辑器，求增加)

func findTargetSumWays(nums []int, S int) int {
    mid := 0
    for _,v := range nums{
        mid += v
    }
    dp := make([][]int, 2)
    for i,_:=range dp{
        dp[i] = make([]int, mid + mid + 1)
    }
    dp[0][mid] = 1
    for i,v := range nums{
        for j,_:= range dp[(i + 1)%2]{
            dp[(i + 1)%2][j] = 0
        }
        for j:=0; j <= mid + mid; j++{
            if j >= v {
                dp[(i+1)%2][j-v] += dp[i%2][j]
            }
            if j + v <= mid + mid {
                dp[(i+1)%2][j+v] += dp[i%2][j]
            }
        }
    }
    if S > mid || S < -mid{
        return 0
    }
    
    return dp[len(nums)%2][S+mid]
}