【GDOI2018】所有题目和解题报告

使用说明：题意和数据范围都只是回忆内容，仅供参考。题解陆续补上。

Day 1

第一题

题意：给定n个数字，要求划分成k的连续段使得每个连续段内的数字之和相同，求最大的k。n,Σai<=10^6。
算法：模拟
题解一：记sum=Σai，从大到小枚举sum的因子暴力O(n)判断，10^6范围内的因子个数至多200~300个，且数据无法构造卡到上限（中途退出），可以轻松通过。
题解二：统计所有前缀和记录到同数组b[]中（即b[i]表示存在大小为i的前缀和），从大到小枚举sum的因子x后，计算每一个k*sum/x（1<=k<=x）在b[]中是否出现即可。复杂度O(\(\sigma_1(sum)\))，其中\(\sigma_1(sum)\)表示sum的约数和。

第二题

题意：给定n个0~m-1的数字，每次操作可以在模m意义区间+1或区间-1，求最少几次操作可以使所有数字变成0。n,m<=10^5。
算法：差分+贪心
题解：如果不考虑模m意义就是一道经典题目。差分后区间操作变成一次+1和-1。差分后实际上有n+1个数字，而第n+1个数字可以任意改变。那么差分后正数之和为A，负数之和为B，那么ans=max{A,B}。
现在考虑模m意义，把所有数字转化为非负数，要选择一些数字变成0，另一些数字变成m。为了使答案尽可能小，变成0一定优先选小，变成m一定优先选大，所以排序后贪心从两边取维护A和B的平衡即可（也可以枚举分界点。
复杂度O(n)。

第三题

题意：给定n个点的带点权树，每天早上根的数字变成0，每天下午每个点的数字往根移动，每天晚上会有一些单点加值的操作。给定m个操作，每个操作在第ai天晚上在点bi加上数字ci。给定k个询问，每次询问第ai天凌晨的【以bi为根的子树】的数字和。n,m,k<=10^5。
算法：CDQ分治 或 树套树
题解：先不考虑修改操作，对每个点x记深度d[x]，dfs序入栈序in[x]和出栈序out[x]。一个点x会在询问(ai,bi)中被统计当且仅当满足\(d_x \leq a_i\)且\(in_{b_i} \leq in_x \leq out_{b_i}\)。关键在于把子树看成dfs序后，这就是个二维偏序问题了。
对于修改操作(ai,bi,ci)，将深度维改为深度+时间维，所有初始节点时间默认为0，修改就在bi下面接一个时间为ai权值为ci的点即可。
但是这样还有一个问题，就是由于离线操作，时间靠前的询问可能统计到时间靠后的询问（因为深度和时间加起来计算了），所以需要再加一个时间维。
这样就是三维偏序问题，用CDQ分治解决，复杂度\(O(n log^2n)\)。

第四题

题意：给定n个点的竞赛图，m条已知的点不相交简单路径，其余边方向随机，求形成强连通分量个数的期望。
算法：

Day 2

第一题

题意：给定n个点m条边的无向图，第i个点有权值ai，边(x,y)的权值定义为：

\[w(x,y)=\sum_{i=1}^{a_x}\sum_{i=1}^{b_x}[(i,j)=1]i+j \]

可以选择一个数字p，使得所有边的权值都减少p（至多减到0），给出限定值T，求最小的p满足1~n的最短路<=T。
n,m<=20000，ai<=10^5，T<=1018。
算法：莫比乌斯反演+二分最短路
题解：对于两点权值为a,b的边权w：

\[w=\sum_{i=1}^{a}\sum_{i=1}^{b}[(i,j)=1]i+j \]

莫比乌斯反演易得：

\[w=\sum_{d=1}^{min\{a,b\}}\mu(d)*d\sum_{i=1}^{\frac{a}{d}}\sum_{i=1}^{\frac{b}{d}}i+j \]

后面部分直接计算：

\[sum(a,b)=a*\frac{b(b+1)}{2}+b*\frac{a(a+1)}{2} \]

复杂度\(O(m \sqrt{a_i})\)。
预处理所有边权，二分p计算最短路判断即可。最短路数组记得初始化为比1e18大的数字。

第二题

题意：给定n个点的树，定义f(S)为点集S的导出子图的边数，求\(\sum_{S}f(S)^k\)。n<=10^5，k<=10。

第三题

题意：给定n个二元组(xi,yi)，两个二元组i和j的价值定义为\(|x_i-x_j|*max\{y_i,y_j\}\)，一个区间[L,R]的价值是其中任选两个二元组的最大价值。
给定m个操作，修改一个二元组的x或y，询问一个区间的价值。
n,m<=10^5。
数据保证初始的y和修改的y随机生成。

第四题

题意：给定n个点的无向图邻接正边权矩阵。每个点可能正在维修（不可经过）。k次操作，询问点x出发回到x的最短路径，或改变一个点的维修状态。n,k<=400。
算法：dijkstra
题解：T4也出走路题，想不到吧！
从点x出发回到x的最短路径就是最短简单环。
每次询问将点x删除后将与点x有直接连边的点标记为关键点，那么就是求解关键点两点间最短路的最小值。（与x的连边边权只要在最短路初始值设置的时候修改即可）
解决这个问题，将关键点作为起点集进行dijkstra，访问到一个点的最短路（第一次访问）和次短路（第二次访问）加起来就是这个点对答案的贡献，取最小值就是答案。
修改操作是假的。

Day 3

第一题

题意：给定n个人的三元组(ai,bi,ci)，一个人能打败另一个人当且仅当至少有两个属性大于另一个人，数据保证没有两个人的同一个属性相同。
共进行n-1轮游戏，每轮任选两个人淘汰败者，求哪些人可能成为最后留下的人。n<=10^5。
算法：主席树+Tarjan缩点。
题解：朴素做法是暴力求出两两有向边的方向，然后对竞赛图缩点后有一条哈密顿路径，唯一那个入度为0的强连通分量包含的点数就是答案。
证明比较显然，①有入度的强连通分量一定不可能淘汰掉入度到它的强连通分量，②入度为0的强连通分量一定有哈密顿回路（竞赛图的性质），故让其中某个点x留到最后只需要从它上一个点开始往前一直两两淘汰，最终就会剩下x的下一个点。
现在的问题是边数太多了，但有很多冗余边。假设只有a,b，那么所有店按a排序后以b为下标建主席树（可持久化权值线段树），每次父亲向儿子连边以及新链叶子向依赖链叶子连边，然后每次的点向直接引用依赖链的左子树连边，这样建图后连通关系就完全等价于上面的建图了。建三棵主席树ab,ac,bc连边即可。
复杂度O(n log n)。

第二题

题意：给定n个点构成的完全二叉树，即点n的父亲是点\(\frac{n}{2}\)，边权为\(an^2+bn+c\)，其中a,b,c为给定的常数。有m次删除以某个点x为根的子树（可能重复删除），每次删除后要求找一个点x，满足所有点到它的距离和最短，求点x和距离和。n,m<=10^{5，a,b,c<=10}9。

第三题

题意：给定V个点E条边的无向图，有一个长度为n的小写字母串，有m只猴子各自携带一个子串要从1到V，两只猴子的路径如果有边相交那么会发生强度为两个子串的LCP的叫嚣。要求安排所有猴子的路径使得所有叫嚣的最小值最大。V,E<=10000，n,m<=10^5，保证80%的边直接从1到V。
算法：最大流+二分哈希
题解：首先如果知道有k条边不相交的路径可以从1到V，那么二分叫嚣值L，如果两个子串的LCP>=L那么它们可以在同一条路径上，而且LCP>=L的性质有传递性，所以直接用桶记录每个子串长度为L的前缀就可以知道至少需要多少条路径，判断是否>k即可。
如何知道从1到V有多少条边不相交的路径？将所有边转化为流量为1的边，跑最大流就是答案。

第四题

题意：对一个黑白格图进行大模拟得到一棵带点权树，求树的直径（点权和）长度为x，然后要求将x划分成若干个整数的方案数之和。n<=10^5。

复杂度\(O(n \sqrt n)\)。