【CodeForces】913 E. Logical Expression

【题目】E. Logical Expression

【题意】令x=11110000(2),y=11001100(2),z=10101010(2)，n次询问，每次要求用[与][或][非][括号]构成含至多各1个xyz的表达式使得结果等于给定的数字（0~255），要求表达式最短（一样短时字典序最小）。n<=10000

【算法】数学+最短路?

【题解】实际上给的数字只有256种情况，所以思路是先预处理再直接回答询问。

对每个表达式我们只关心其结果和最后进行的运算符优先级，所以至多有3*256种状态，令n=3*256。

关于优先级，定义三层优先级，最高F为!和()，次高T为&，最低E为|，表达式的优先级为其最后计算的符号的优先级，低优先级遇到高优先级需要打括号。

令F[i]表示最高优先级结果为i的最短表达式，T[i]和E[i]同理，这三种优先级转移如下：

一、F

1.F[i]=min{ F[i] , "(" + E[i] + ")" }

2.F[i]=min{ F[i] , "!" + F[i^255] }

二、T

1.T[i]=min{ T[i] , F[i] }

2.T[i&j]=min{ T[i&j] , T[i]&T[j] }

三、E

1.E[i]=min{ E[i] , T[i] }

2.E[i&j]=min{ E[i&j] , E[i]&E[j] }

只需要这六种转移，三层优先级就可以实现循环转移，可以运用dijkstra，n个结点，转移连边，复杂度O(n^3)。或直接迭代实现至无法更新结束，复杂度O(n^2)。（复杂度分析不太清楚）

最终答案就是ans=E[x]，x为输入。

#include<cstdio>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

string f[300],t[300],e[300];
char s[20];
int n;
bool cmp(string& a,string& b){return a.size()!=b.size()?a.size()<b.size():a<b;}
bool modify(string& a,string b){return (a==""||cmp(b,a))?a=b,1:0;}
int main(){
    f[240]="x";f[204]="y";f[170]="z";
    while(1){
        bool ok=0;
        for(int i=0;i<256;i++)if(e[i]!="")ok|=modify(f[i],"("+e[i]+")");
        for(int i=0;i<256;i++)if(f[i]!="")ok|=modify(f[i^255],"!"+f[i]);
        for(int i=0;i<256;i++)if(f[i]!="")ok|=modify(t[i],f[i]);
        for(int i=0;i<256;i++)if(t[i]!="")for(int j=0;j<256;j++)if(t[j]!="")ok|=modify(t[i&j],t[i]+"&"+t[j]);
        for(int i=0;i<256;i++)if(t[i]!="")ok|=modify(e[i],t[i]);
        for(int i=0;i<256;i++)if(e[i]!="")for(int j=0;j<256;j++)if(e[j]!="")ok|=modify(e[i|j],e[i]+"|"+e[j]);
        if(!ok)break;
    }
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s);int c=0;
        for(int j=0;j<8;j++)c|=((s[j]-'0')<<j);
        cout<<e[c]<<endl;
    }
    return 0;
}