【LIbreOJ】#6256. 「CodePlus 2017 12 月赛」可做题1

【题意】定义一个n阶正方形矩阵为“巧妙的”当且仅当：任意选择其中n个不同行列的数字之和相同。

给定n*m的矩阵，T次询问以(x,y)为左上角的k阶矩阵是否巧妙。n,m<=500,T<=10^5。

【算法】数学

【题解】

可以证明每个矩阵是巧妙的当且仅当其每个2阶子矩阵均是巧妙的：

必要性：若该矩阵有一个不巧妙的2阶子矩阵，则其他部分选择相同的情况下（不涉及此两行列），这两行列的和不同，所以该矩阵不是巧妙的。

观察一个巧妙的2阶子矩阵

a1 a2

b1 b2

由a1+b2=a2+b1，可得

a2-a1=b2-b1（列间差分相等）

b1-a1=b2-a2（行间差分相等）

充分性：若该矩阵每个2阶子矩阵都是巧妙的，则其行差分的列差分均为0（行差分相等和列差分相等）。

重定义每个数字为Mij=ai+bj，表示A(i,j)和A(i-1,j-1)的列差分和行差分分别为ai和bj，这样的矩阵不论如何选择排列，和均为Σai+Σbj,1<=i,j<=k，所以该矩阵是巧妙的。

维护二维前缀和即可。

#include<cstdio>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
int a[600][600],f[600][600],n,m,T,x,y,k;
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&T);
    rep(i,1,n)rep(j,1,m)scanf("%d",&a[i][j]);
    rep(i,1,n-1)rep(j,1,m-1)f[i][j]=f[i][j-1]+(a[i][j]+a[i+1][j+1]!=a[i+1][j]+a[i][j+1]);
    rep(i,1,n-1)rep(j,1,m-1)f[i][j]+=f[i-1][j];
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        if(f[x+k-2][y+k-2]-f[x-1][y+k-2]-f[x+k-2][y-1]+f[x-1][y-1]>0)puts("N");else puts("Y");
    }
}