【51nod】1766 树上的最远点对
【题意】给定n个点的树,m次求[a,b]和[c,d]中各选出一个点的最大距离。abcd是标号区间,n,m<=10^5
【算法】LCA+树的直径理论+线段树
【题解】
树的直径性质:距离树上任意点最远的点一定是直径的一端。此结论在点集中依然试用。
那么根据性质,容易得到答案路径的两端一定是[a,b]直径的一端和[c,d]直径的一端的连线。
(考虑任意一个点集AB的点,在点集A中距离最远的是a或b,在点集B中距离最远的是c或d,故直径的端点只能是abcd)
从而,两个区间的直径可以快速合并成一个区间的直径,即直径的可并性。
因为直径可并和区间标号连续,所以可以用线段树维护一段区间的直径并查询。
连线用LCA解决,倍增常数较大会TLE,使用树链剖分或RMQ-LCA皆可。
复杂度O(n log2n)。
【注意】
RMQ查询时注意判断l>r时swap。
线段树合并时要从左右子树内部取答案,而询问不能从内部取答案。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cctype> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=100010; int read(){ char c;int s=0,t=1; while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-1; do{s=s*10+c-'0';}while(isdigit(c=getchar())); return s*t; } int first[maxn],a[maxn*3],b[maxn],logs[maxn*3],d[maxn*3][50],p[maxn*3][50],deep[maxn],dis[maxn],tot,cnt; int L[maxn*4],R[maxn*4],n,m; struct edge{int v,w,from;}e[maxn*2]; struct cyc{int num,A,B;}t[maxn*4]; int min(int a,int b){return a<b?a:b;} int max(int a,int b){return a<b?b:a;} void insert(int u,int v,int w){cnt++;e[cnt].v=v;e[cnt].w=w;e[cnt].from=first[u];first[u]=cnt;} void dfs(int x,int fa){ a[++tot]=x;b[x]=tot; for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){ deep[e[i].v]=deep[x]+1; dis[e[i].v]=dis[x]+e[i].w; dfs(e[i].v,x); a[++tot]=x; } } void RMQ_init(){ logs[0]=-1;for(int i=1;i<=tot;i++)logs[i]=logs[i>>1]+1; for(int i=1;i<=tot;i++)d[i][0]=deep[a[i]],p[i][0]=i; for(int j=1;(1<<j)<=tot;j++){ for(int i=1;i+(1<<j)-1<=tot;i++)if(d[i][j-1]<d[i+(1<<(j-1))][j-1]){ d[i][j]=d[i][j-1];p[i][j]=p[i][j-1]; }else{d[i][j]=d[i+(1<<(j-1))][j-1];p[i][j]=p[i+(1<<(j-1))][j-1];} } } int lca(int l,int r){ l=b[l],r=b[r]; if(l>r)swap(l,r);// int k=logs[r-l+1]; k=d[l][k]<d[r-(1<<k)+1][k]?p[l][k]:p[r-(1<<k)+1][k]; return dis[a[l]]+dis[a[r]]-2*dis[a[k]]; } cyc tr(bool ok,cyc L,cyc R){ cyc x=(cyc){-1,0,0}; if(!ok){ if(L.A==0)return R; if(R.A==0)return L; x=L; if(R.num>x.num)x=R; } int num=lca(L.A,R.A); if(num>x.num)x=(cyc){num,L.A,R.A}; num=lca(L.A,R.B); if(num>x.num)x=(cyc){num,L.A,R.B}; num=lca(L.B,R.A); if(num>x.num)x=(cyc){num,L.B,R.A}; num=lca(L.B,R.B); if(num>x.num)x=(cyc){num,L.B,R.B}; return x; } void build(int k,int l,int r){ L[k]=l;R[k]=r; if(l==r)t[k]=(cyc){0,l,r}; else{ int mid=(l+r)>>1; build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r); t[k]=tr(0,t[k<<1],t[k<<1|1]); } } cyc ask(int k,int l,int r){ if(l<=L[k]&&R[k]<=r)return t[k]; else{ int mid=(L[k]+R[k])>>1; cyc x=(cyc){0,0,0}; if(l<=mid)x=ask(k<<1,l,r); if(r>mid)x=tr(0,x,ask(k<<1|1,l,r)); return x; } } int main(){ n=read(); for(int i=1;i<n;i++){ int u=read(),v=read(),w=read(); insert(u,v,w);insert(v,u,w); } tot=0;dfs(1,0);RMQ_init();build(1,1,n); m=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ int x=read(),y=read(),z=read(),w=read(); cyc q=tr(1,ask(1,x,y),ask(1,z,w)); printf("%d\n",q.num); } return 0; }