【BZOJ】1584: [Usaco2009 Mar]Cleaning Up 打扫卫生

【算法】DP+数学优化

【题意】把n个1~m的数字分成k段，每段的价值为段内不同数字个数的平方，求最小总价值。n,m,ai<=40000

【题解】

参考自：WerKeyTom_FTD

令f[i]表示把前i个数分成若干段的最小价值。

转移中我们定义，从i开始往前到有j个不同的数的最小位置为b[j]。

f[i]=f[b[j]-1]+j^2。

考虑最坏情况，每个数自成一段，则总价值为n。

所以当段内不同的数个数>√n时，就不可能是最优解了（此时价值>n）。

所以f[i]=f[b[j]-1]+j^2,1<=j<=√n。

快速计算的关键在递推b[j]数组，首先在递推过程中同步计算上一个等数位置last[]和桶c[]。

枚举j：

如果last[i]>=b[j]，不会新增数，不改变。

否则，b[j]++直到c[a[b[j]]]=b[j]，此时b[j]++得到新的b[j]。

注意若元素个数不满√n个，出现新元素就top++。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=40010;

int n,N,a[maxn],last[maxn],c[maxn],b[maxn],f[maxn],m,top;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&N);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    m=(int)sqrt(n)+1;
    top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        last[i]=c[a[i]];
        c[a[i]]=i;
        for(int j=1;j<=min(m,top);j++)if(last[i]<b[j]){
            while(c[a[b[j]]]!=b[j])b[j]++;
            b[j]++;
        }
        if(!last[i])b[++top]=1;
        f[i]=i;
        for(int j=1;j<=min(m,top);j++)f[i]=min(f[i],f[b[j]-1]+j*j);
    }
    printf("%d",f[n]);
    return 0;
}