【BZOJ】4565: [Haoi2016]字符合并

【题意】http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4565

【算法】区间DP+状压DP

【题解】

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题外话：

区间DP的状态转移特点是一次转移只做一次合并，小合并由小区间做好传递，这样就能处理好复杂的区间问题。

数据范围k这么小而且和01有关，果断状压啊。

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引用自：[BZOJ4565][Haoi2016]字符合并（状压dp） by zyf2000

下面过程中的状态S都是前面的0补齐的！

f[i][j][S]表示区间i~j状态为S的最大价值，显然对于一个区间，其状态长度len(S)<=k是唯一确定的（只要留够下一次合并的长度就够了，而留k是为了后面处理全区间直接合并）。

对于区间i~j，长度len(S)的计算方式：

考虑转移：

①划分转移

直接考虑在中间划分成两半来组合是没有意义的，会重复枚举，而且复杂度O(n^2*[n*2^(2*k)])难以接受。（”[]“中是转移复杂度）

其实划分转移需要找到一种不重不漏的划分方式，只要满足不重不漏怎么划分都是无所谓的。

对于一个状态S，我们分成S'+0/1，考虑枚举右边若干位的状态为0/1，再枚举左边剩余位的状态S‘，拼成状态S。

这样首先不重不漏(对于每个S的方案只枚举一次且一定会枚举到），且无效状态的数量可以承受，复杂度O(n^2*[n*2^k])。

②直接合并：对于区间长度len(S)=k要直接合并成f[i][j][0/1]。

具体的转移方程见上面zyf2000的博客。

细节：len(S')=len(S)-1，枚举右边若干位的方法是从1开始，每次加k-1（每次凑成k个后变成1个）。

对于一个区间状态长度唯一确定，所以其实在划分转移中，对于一个区间的访问长度都是一定的，不可能出现变动，只要访问到某个区间就一定是某个长度不需要人为限制的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=310,maxS=1<<8;
int n,k,c[maxS];
ll w[maxS],f[maxn][maxn][maxS],g[2];
char s[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d%s",&n,&k,s+1);
    for(int i=0;i<(1<<k);i++)scanf("%d%lld",&c[i],&w[i]);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i][s[i]-'0']=0;
    for(int p=2;p<=n;p++)
        for(int i=1;i+p-1<=n;i++){
            int j=i+p-1,len=p;
            while(len>k)len-=k-1;
            for(int x=j;x>i;x-=k-1){
                for(int S=0;S<(1<<(len-1));S++)if(~f[i][x-1][S]){
                    if(~f[x][j][0])f[i][j][S<<1]=max(f[i][j][S<<1],f[i][x-1][S]+f[x][j][0]);
                    if(~f[x][j][1])f[i][j][S<<1|1]=max(f[i][j][S<<1|1],f[i][x-1][S]+f[x][j][1]);
                }
            }
            if(len==k){
                g[0]=g[1]=-1;
                for(int S=0;S<(1<<len);S++)if(~f[i][j][S])g[c[S]]=max(g[c[S]],f[i][j][S]+w[S]);
                memset(f[i][j],-1,sizeof(f[i][j]));//可加可不加 
                f[i][j][0]=g[0];f[i][j][1]=g[1];
            }
        }
    ll ans=0;
    for(int S=0;S<(1<<k);S++)ans=max(ans,f[1][n][S]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

 

 

upd：

区间DP，设$f_{i,j}(S)$表示区间[i,j]状态为S的答案（这其实就是最终答案的表示方式）。对于一个给定区间，消除完成后的长度是确定的且<k，可以通过while(len>k)len-=k-1得到。（不消除到k以内的方案可以通过枚举其它区间转移得到，这里不用考虑）

考虑划分转移，枚举最后一个字符的来源区间转移，这样会依次转移下去。（中间合并会从后面一个一个枚举得到）

然后处理一下恰好k的时候，并成1个。