[转载] C++数值积分--辛普森法

为防止链接失效，转载c++实现数值积分的方法（辛普森法）。

数值积分

普通辛普森法

这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。

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// C++ Version
const int N = 1000 * 1000;
double simpson_integration(double a, double b) {
  double h = (b - a) / N;
  double s = f(a) + f(b);
  for (int i = 1; i <= N - 1; ++i) {
    double x = a + h * i;
    s += f(x) * ((i & 1) ? 4 : 2);
  }
  s *= h / 3;
  return s;
}

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# Python Version
N = 1000 * 1000
def simpson_integration(a, b):
    h = (b - a) / N
    s = f(a) + f(b)
    for i in range(1, N):
        x = a + h * i
        if i & 1:
            s = s + f(x) * 4
        else:
            s = s + f(x) * 2
    s = s * (h / 3)
    return s

自适应辛普森法

普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 n的限制，我们应该找一种更加合适的方法。

现在唯一的问题就是如何进行分段。如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低。我们需要找到一个准确度和效率的平衡点。

我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了。

于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解。

现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？

我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分。如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了。

上面就是自适应辛普森法的思想。在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数。

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// C++ Version
double simpson(double l, double r) {
  double mid = (l + r) / 2;
  return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6;  // 辛普森公式
}
double asr(double l, double r, double eqs, double ans, int step) {
  double mid = (l + r) / 2;
  double fl = simpson(l, mid), fr = simpson(mid, r);
  if (abs(fl + fr - ans) <= 15 * eqs && step < 0)
    return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15;  // 足够相似的话就直接返回
  return asr(l, mid, eqs / 2, fl, step - 1) +
         asr(mid, r, eqs / 2, fr, step - 1);  // 否则分割成两段递归求解
}
double calc(double l, double r, double eps) {
  return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12);
}

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# Python Version
def simpson(l, r):
    mid = (l + r) / 2
    return (r - l) * (f(l) + 4 * f(mid) + f(r)) / 6 # 辛普森公式
def asr(l, r, eqs, ans, step):
    mid = (l + r) / 2
    fl = simpson(l, mid); fr = simpson(mid, r)
    if abs(fl + fr - ans) <= 15 * eqs and step < 0:
        return fl + fr + (fl + fr - ans) / 15 # 足够相似的话就直接返回
    return asr(l, mid, eqs / 2, fl, step - 1) + \
           asr(mid, r, eqs / 2, fr, step - 1) # 否则分割成两段递归求解
def calc(l, r, eps):
    return asr(l, r, eps, simpson(l, r), 12)

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本文作者：oniisan

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