18.11.2绍一模拟赛
T1 Alice 的幸运数
题意
给定n(n\le 100)个64位无符号整数（有顺序）。
我们可以对每个数取反，然后按顺序执行按位与\(nbsp或者\)nbsp按位或\(nbsp或者\)nbsp按位异或。
求最后结果的最小值。
分析
我们发现要使结果最小，高位尽量取0。
打个爆搜。。
发现n很大的时候全是0。
大胆猜想，无需证明！！！
if(n12){
printf("%d\n",0);
return ;
}
轻松AC。
还是给一下证明吧。。
我们首先发现只有与是有用的。
就算没有发现也没有关系。
我们发现上下两个数进行与运算，\(1\)的数量至少除以\(2\)。
很明显，上面是累计下来的结果，有一些位是\(1\)，其他是\(0\)。
我们与下面的数进行与运算，发现如果剩下的\(1\)大于一半，我们可以对下面的数取反。
这样子\(1\)的数量就减少了大于一半了。
那么至多\(2^7\)就能保证答案为\(0\)了。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define file "lucky"
using namespace std;
ull read(){
char c;ull num,f=1;
while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
return f*num;
}
int n;
ull a[109],now,ans;
void dfs(int d){
if(d==n+1){
ans=min(ans,now);
return ;
}
ull tmp=now;
now=tmp&a[d];dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
now=tmp&(~a[d]);dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
now=tmp^a[d];dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
now=tmp^(~a[d]);dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
now=tmp|a[d];dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
now=tmp|(~a[d]);dfs(d+1);
if(ans==0)return ;
}
void work(){
scanf("%d",&n);
if(n>12){
cout<<0<<endl;
return ;
}
ans=(1<<64)-1;
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
now=a[1];dfs(2);
if(ans!=0){now=~a[1];dfs(2);}
cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
freopen(file".in","r",stdin);
freopen(file".out","w",stdout);
int Case;
scanf("%d",&Case);
while(Case--)work();
return 0;
}
T2Marisa 的礼物
题意
一开始有1元钱，有\(n(n\le 10^5)\)个置换关系，当我们拥有超过\(r_i(r_i\le 10^9)\)元钱时可以花光所有钱，用\(t_i(t_i\le 10^9)\)的时间把身上的钱换成\(v_i(v_i\le 10^9)\)元。
问使身上的钱超过\(m(m\le 10^9)\)，最少需要多少时间。
分析
很明显每个置换关系只可能用一遍。
我们可以跑背包。
但是背包的状态有点大。
发现其实\(n\)很小。
我们把容量离散化，这样就可以把容量缩到\(10^5\)，可以跑背包。
\(f[v]\)表示当身上的钱为\(v\)的时候，最少时间。
\(f[v_i]=min{f[k],k\ge r_i}+t_i\)。
暴力求最小值。
然后我们就可以\(O(n^2)\)求出所有的价值了。
时间复杂度不够优。
我们继续考虑优化这个求最小值的过程。
单调队列？
并不是单调的。
线段树！
我们用线段树维护这个数组。
就可以\(O(nlogn)\)维护最小值了。
也可以考虑反向线段树，这样子就不用支持区间减法了。
另外一种思路是最短路。
离散化之后我们把拥有的钱按从小到大排序，然后从大到小相邻连边，边权为0。
每种置换关系对应的\(r_i\)向它的\(v_i\)连边，边权为\(t_i\)，我们从\(1\)元开始跑最短路，然后就可以求出到\(m\)的最短路了。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define file "gift"
using namespace std;
const int M=2e5+1000;
struct edge{
int u,v;
ll t;
}e[M];
int read(){
char c;int num,f=1;
while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
return f*num;
}
int n,m,tmp[M*3],cnt;
ll f[M*3];
ll tree[M*20];
bool cmp1(int a,int b){return a<b;}
bool cmp(edge a,edge b){return a.u<b.u;}
void update(int rt){
tree[rt]=min(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt){
if(l>r)return ;
if(l==r){tree[rt]=f[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,rt<<1);
if(mid+1<=r)build(mid+1,r,rt<<1|1);
update(rt);
}
ll ask(int l,int r,int L,int R,int rt){
if(l<=L&&R<=r){return tree[rt];}
int mid=(L+R)>>1;
ll ans=1ll<<61;
if(mid>=l)ans=min(ans,ask(l,r,L,mid,rt<<1));
if(mid+1<=r)ans=min(ans,ask(l,r,mid+1,R,rt<<1|1));
return ans;
}
void change(int x,int L,int R,int rt,ll w){
if(L==R){tree[rt]=w;return ;}
int mid=(L+R)>>1;
if(mid>=x)change(x,L,mid,rt<<1,w);
else change(x,mid+1,R,rt<<1|1,w);
update(rt);
}
int fd(int x){
int l=1,r=cnt,mid;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(tmp[mid]==x)return mid;
if(tmp[mid]>x)r=mid-1;
else l=mid+1;
}
}
void work(){
cnt=0;n=read();tmp[++cnt]=m=read();
tmp[++cnt]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
tmp[++cnt]=e[i].v=read();
tmp[++cnt]=e[i].u=read();
e[i].t=read();
if(e[i].u>=e[i].v){
n--;i--;
continue;
}
}
sort(tmp+1,tmp+1+cnt,cmp1);
sort(e+1,e+1+n,cmp);
cnt=unique(tmp+1,tmp+1+cnt)-(tmp+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
e[i].v=fd(e[i].v);
e[i].u=fd(e[i].u);
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
m=fd(m);f[1]=0;
build(1,cnt,1);
//cout<<tree[3]<<endl;
//cout<<ask(3,cnt,1,cnt,1)<<endl;
ll minn;
for(int i=1;i<=n;i++){
minn=(1<<31)-1;
minn=ask(e[i].u,cnt,1,cnt,1);
if(minn+e[i].t<f[e[i].v]){
f[e[i].v]=minn+e[i].t;
change(e[i].v,1,cnt,1,minn+e[i].t);
}
}
minn=(1<<31)-1;
minn=ask(m,cnt,1,cnt,1);
printf("%lld\n",((minn<(1ll<<61))?minn:-1));
}
int main()
{
freopen(file".in","r",stdin);
freopen(file".out","w",stdout);
int Case=read();
while(Case--)work();
return 0;
}
/* 发现每次换钱必须变得更多，那么先去除那些变少的边。
* 可以离散化。
* 我们对起点进行排序，然后升序跑一遍dp。
* 考虑线段树维护最小值，单点修改。
* f[v]=min{min{f[u]}+t};
* 时间复杂度
* 离散化nlogn，线段树logn。
* 循环n
* 总复杂度O(nlogn)
*/
Marisa 的排序
题意
定义一种区间排序。
排序的方式是将区间内下标\(i\equiv x(mod\ d)\)的放在一块，块的顺序按照块内第一个数的下标排序。
比如\(0,1,2,3,4,5,6\)当\(d=3\)时排序后变成\(0,3,6,1,4,2,5\)。
给定一个字符串，和\(m\)个操作。
每次操作给定区间长度\(k\)和\(d\)。
从左到右给每一个长度为\(k\)的序列以此排序。
每一个操作之后输出现在的字符串。
分析
乍一看无从下手，但是发现每次操作的时候，区间内的数字变化是一定的。
也就是说，我们只要用一个\(p\)数组表示一次操作数字的位置变化，就能很轻松地对每一个区间进行递推。
时间复杂度为\(O(mn^2)\)，显然是无法通过所有的数据的。
我们考虑优化这个递推过程。
我们可以把排序区间移动看成是数组整体左移，这样子我们只要变更一下\(p\)数组，在用\(p\)数组递推的同时考虑数组左移，就只要不停地对第一个区间进行排序即可。
比如\(k=4,d=2\)，原数组为\(0,1,2,3,4,5\)的时候。
我们原来的\(p\)数组应该是\(0,2,1,3,4,5\)。
现在我们只要把\(p\)数组变成\(2,1,3,4,5,0\)就可以考虑整体左移了。
我们可以利用矩阵乘法的思想优化这个递推过程。
定义数组乘法为按照数组递推一次。
我们发现对字符串的递推与对\(p\)数组自乘是一样的。
那么我们快速幂计算\(p\)数组递推\(n-k+1\)次的数组，再用它去乘字符串，就可以把\(O(n)\)的递推优化到\(O(logn)\)的递推了。
注意我们用\(p\)数组递推的时候原字符串发生了左移，在结束一次操作后一定要把它右移回来。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define ll long long
#define file "sorting"
using namespace std;
const int Maxn=1000009;
int read(){
char c;int num,f=1;
while(c=getchar(),!isdigit(c))if(c=='-')f=-1;num=c-'0';
while(c=getchar(), isdigit(c))num=num*10+c-'0';
return f*num;
}
int n,m,k,d;
char c[Maxn],w[Maxn];
int cnt[Maxn],ans[Maxn];
int p[Maxn],tmp[Maxn],l[Maxn];
void multi(int *a,int *b){
for(int i=0;i<n;i++)
tmp[i]=a[b[i]];
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=tmp[i];
}
void Pow(int *a,int p){
for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=i;
for(;p;p>>=1,multi(a,a))
if(p&1)multi(ans,a);
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=ans[i];
}
void work(){
k=read();d=read();
memset(cnt,0,d*4);
for(int i=0;i<k;i++)
cnt[i%d]++;
for(int i=0;i<d;i++)
cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=k-1;i>=0;i--)
p[(cnt[i%d]--)-1]=i;
for(int i=k;i<n;i++)
p[i]=i;
multi(p,l);
//for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",p[i]);
//printf("\n");
int t=n-k+1;
Pow(p,t);
for(int i=0;i<n;i++)
w[i]=c[p[i>=t?i-t:i+n-t]];
puts(w);
for(int i=0;i<n;i++)
c[i]=w[i];
}
int main()
{
while((c[n]=getchar())!='\n')n++;
m=read();
for(int i=0;i<n;i++)l[i]=i+1;
l[n-1]=0;
while(m--)work();
return 0;
}
/* p为置换矩阵
* l为左移矩阵
*/
