[luogu]P1084 疫情控制

原题链接：P1084 疫情控制

题意

给定一棵带权树，$1$号点为根节点，某些点上有军队。

现在要求移动这些军队，使军队覆盖所有的叶子节点，求移动距离最大值的最小值。

分析

很难直接求出最小值，我们可以考虑二分这个最小值，让原问题转化为判定问题。

二分最小值，我们只需要判断能否在$mid$距离内使军队全部移动到覆盖所有的叶子点。

1.上移军队

一个军队往哪个方向移动贡献最大？

明显是往根节点方向移动。

所以很明显我们第一步就是要把所有的节点尽可能地往上移动。

如果移动到顶（处于根节点的儿子节点），我们就记录下这个节点的余力（剩下还能走的距离），并且暂时保存并在途中删除这个点（留作备用）。

保存的时候记录一个点的来源，余力。

 

如何快速上移呢？

倍增预处理出上移$2^k$代祖先的移动距离，可以优化掉一个$log$。

 2.判断还要堵死哪些子树

然后跑一遍dfs，找出所有未被封死的子树，我们考虑怎么通过移动剩下节点去堵死它们。

3.移动军队堵死子树

我们把军队的余力和根节点到各子树的距离按从小到大排序。

考虑扫一遍并且考虑怎么堵。

我们考虑一支军队怎么发挥它的最大能力呢？

首先一支军队堵死它的子树是不需要考虑余力的。

 

从小到大扫一遍军队，如果发现军队所在的那棵子树没被堵死，那么直接堵上去就可以了。

为什么这样是正确的呢？

越强的军队应该堵死越远的子树，因为我们是从小到大扫军队的，所以这个军队肯定要堵死最近的那个子树。

但是它却能超越自己的能力堵死更远的子树，何乐而不为呢？

如果自己所在的那棵子树被堵死了，那么我们从小到大扫一遍，看看还有没有子树可以堵死，有就堵上去。

 

这样就可以判断能不能在规定时间里堵死所有子树了。

实现

虽然分析的是头头是道，但是这道题的实现却是没有一点头绪。

1.预处理部分

预处理部分我们可以参照倍增求LCA的算法一遍O(n)求出所有预处理数组。

并且我们还可以直接求出一个点到根节点的距离，这样子在后面二分的时候可以直接判断这个点能否进行子树间转移。

2.上移军队

对于不能移出子树的点。

从大到小扫一遍上移的祖先数，如果没有移到根节点或是没有超出能力范围，就把军队上调。

为每一个点开一个vis数组，记录这个点是否被堵死。

对于可以移出子树的点。

我们直接新开结构体数组保存它的来源，剩余能力（mid-dis[i]）。

然后从小到大排序一遍，同时从根开始dfs一遍，如果有子树没被堵死，另开一个结构体数组保存子树到根的距离和子树的编号。

发现这两个结构体数组本质上是一样的。

 

3.子树间转移

双指针，$i$指针是军队指针，$j$指针是子树指针。

对于每一个军队，我们先开能否堵死它所在的子树，如果可以，就直接堵死。

不可以的话，$j$指针往后移，直到找到第一个没被堵死且可以被他堵死的，如果不存在（当前子树比军队大且没被堵死），直接$continue$。

所有的军队都考虑完之后，再后移一遍$j$指针。

如果全部子树都被包含，就$return true$，否则$return false$。

 

至此，算法结束。