前缀和与差分

1.一维前缀和

前缀和是指某序列的前n项和，可以把它理解为数学上的数列的前n项和，而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分，可以将某些复杂的问题简单化。

有一个长度为n的序列，求序列中r到l的和。如果数据很大采用循环遍历肯定会TLE，所以就要采用前缀和的方式来求解

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],s[N];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        s[i]=s[i-1]+a[i];	//预处理先求出前缀和数组
    }
    
    while(m--)
    {
        int r,l;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

1.1二维前缀和

输入一个 n行 m列的整数矩阵，再输入 q个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N][N], s[N][N];

int main() {
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
        }

    while (q--) 
	{
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        // 算子矩阵的和
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1]); 
    }

    return 0;
}

计算子矩阵(x1,y1),(x2,y2)时不能要做一个-1处理，不能将（x1，y1）也减掉。

将坐标代入样例中即可一目了然

2差分

差分数组：

首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1], b[2], b[3],,,,,, b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + ,,,,,, + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

输入一个长度为 n
的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c
，表示将序列中 [l,r]之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];      //构建差分数组	a[i]=b[i]+a[i-1];
    }
    int l, r, c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;     //将序列中[l, r]之间的每个数都加上c
        b[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = b[i] + a[i - 1];    //前缀和运算。因为b数组做过更改，所以直接做一遍前缀和运算即可。
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

2.2二维差分数组

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n, m, q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);      //构建差分数组
        }
    }
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];  //二维前缀和
        }
    }	//之前很疑惑为什么这里要有一段求前缀和的代码，思考蛮久才明白。b数组是差分数组
	//假设在差分数组的i，j下标位置做数据更改，差分数组只是会有这一个数据改变
	//但是他的前缀和数组从i，j一直到n，m都会受到影响。
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            printf("%d ", b[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

b[x1][y1] += c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。

b[x1,][y2 + 1] -= c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

b[x2 + 1][y1] -= c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。

b[x2 + 1][y2 + 1] += c; 对应图4,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右下角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c = a[i][j] ，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行 n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组

假设现在有原数组a，差分数组b。如果对差分数组的一个点做了更改，那么原数组的那个点以及后面所有的数据都会受到影响，因为原数组是差分数组的前缀和数组。