欧拉定理 & 扩展欧拉定理

观前提醒：「文章仅供学习和参考，如有问题请在评论区提出」

目录

• 前置
  • 剩余类（同余类）
  • 完全剩余系（完系）
  • 简化剩余系（缩系）
  • 欧拉函数
• 欧拉定理
• 扩展欧拉定理
• 参考资料

前置#

剩余类（同余类）#

---

给定一个正整数 $n$ ，把所有的整数根据模 $n$ 的余数 $r\in [0,n-1]$ 分为 $n$ 类，每一类就可以被表示为 $C_r=nx+r$ 。那么这类数所构成的集合就称为模 $n$ 的剩余类。

完全剩余系（完系）#

---

给定一个正整数 $n$ ，有 $n$ 个不同的模 $n$ 的剩余类（因为余数 $r\in [0,n-1]$ ）。

从这 $n$ 个不同的剩余类中各取出一个元素，总共 $n$ 个数，将这些数构成一个新的集合，则称这个集合为模 $n$ 的完全剩余系。

例如：$n=5$ 时，$\{0,1,2,3,4\}$ ， $\{5,1,-3,8,9\}$ 都是一个模 $5$ 的完全剩余系。

因为他们都有 $5$ 个不同的模 $5$ 的剩余类 $r\in [0,4]$ 。

简化剩余系（缩系）#

---

给定一个正整数 $n$ ，有 $\phi (n)$ 个不同的模 $n$ 的余数 $r$ 与 $n$ 互质的剩余类。

从这 $\phi (n)$ 个剩余类中各取出一个元素，总共 $\phi (n)$ 个数，将这些数构成一个新的集合，则称这个集合为模 $n$ 的简化剩余系。

$\phi (n)$ 为欧拉函数，$1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数的个数。

例如：$n=5$ 时，$\{1,2,3,4\}$ 是一个模 $5$ 的简化剩余系。$n=10$ 时，$1,3,7,9$ 是一个模 $10$ 的简化剩余系。

显然，模 $n$ 的简化剩余系中所有的数都与 $n$ 互质。

欧拉函数#

---

$1\sim n$ 与 $n$ 互质的数的个数称为欧拉函数，记作 $\phi (n)$ 。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}{p}_3^{a_3}...p_k^{a_k}\text{(2)}& \phi (n)=n\times \prod _{i=1}^k\frac{p_i-1}{p_i}\end{array}$$

欧拉定理#

---

定义：若 $gcd(a,n)=1$ ，则 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 。

证明

设 $\{r_1,r_2,...r_{\phi (n)}\}$ 是一个模 $n$ 的简化剩余系。

那么 $r_i$ 就是和 $n$ 互质，又因为 $gcd(a,n)=1$ ，所以 $a$ 与 $n$ 也是互质的。

那么 $\{a{r}_1,a{r}_2,...a{r}_{\phi (n)}\}$ 也是一个模 $n$ 的简化剩余系。所以

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \prod _{i=1}^{\phi (n)}{r}_i& \equiv \prod _{i=1}^{\phi (n)}a{r}_i(\mathrm{mod}n)\text{(4)}& \prod _{i=1}^{\phi (n)}{r}_i& \equiv a^{\phi (n)}\prod _{i=1}^{\phi (n)}{r}_i(\mathrm{mod}n)\text{(5)}& a^{\phi (n)}& \equiv 1(\mathrm{mod}n)\end{array}$$

扩展欧拉定理#

---

$$a^b=\{\begin{array}{ll}{a}^b& ,b<\phi (m),\mathrm{mod}(m)\\ a^{b\mathrm{mod}\phi (m)+\phi (m)}& ,b\ge \phi (m),\mathrm{mod}(m)\end{array}$$

P5091 【模板】扩展欧拉定理 - 洛谷

给定三个正整数 $a,b,m$ ，求 $a^b\mathrm{mod}m$ 。

$1\le a\le {10}^9,1\le m\le {10}^9,1\le b\le {10}^{20000000}$ 。

可以根据扩展欧拉定理，当 $b<\phi (m)$ 时，用快速幂求解，当 $b\ge \phi (m)$ 时，通过定理进行降幂，然后再用快速幂求解。

实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

// 快速幂, a ^ k % p
int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

// 求 n 的欧拉函数
int get_phi(int n) {
    int res = n;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) {
            while (n % i == 0) n /= i;
            res = res / i * (i - 1);
        }
    }
    if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

// 对 b 进行降幂
int de_pow(string s, int phi) {
    int res = 0;
    bool flag = false;
    for (int i = 0; s[i]; i++) {
        res = res * 10 + s[i] - '0';
        if (res >= phi) flag = true, res %= phi;
    }
    if (flag) res += phi;
    return res;
}

int main() {
    int a, m;
    string b;
    cin >> a >> m >> b;

    int phi = get_phi(m);
    int B = de_pow(b, phi);
    cout << qmi(a, B, m) << "\n";

    return 0;
}

参考资料#

---

522 剩余系 欧拉定理 扩展欧拉定理_董晓算法