欧拉函数

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目录

• 定义
• 性质
• 计算公式推导
• 求欧拉函数
  • 分解质因子法
  • 筛法求欧拉函数
• 参考资料

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定义

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欧拉函数的符号表示是 \(\varphi (n)\) ，表示 \(1\sim n\) 中和 \(n\) 互质的数的个数。

例如，\(\varphi (12) = 4\)，即 \(1,5,7,11\) 。

性质

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1. 若 \(n\) 是质数， 则 \(\varphi (n) = n - 1\)。

   质数会和小于它本身的所有正整数互质，即 \(n\) 与 \(1 \sim n - 1\) 中所有数互质。

2. 当 \(n\) 是奇数时，\(\varphi(2n) = \varphi(n)\)。

   只有这一种情况成立，并不是 \(n\) 的偶数倍的意思。

3. 如果 \(n = p^{k}\)，其中 \(p\) 是质数，那么

   \[\begin{align} \varphi(n) & = p^{k} - p^{k - 1} \\ & = p^{k - 1}(p - 1) \\ & = p^{k}(1 - \frac{1}{p} ) \end{align} \]

   \(1 \sim n\) 中只有不包含质数 \(p\)，才会与 \(n\) 互质。而包含质数 \(p\) 的数为 \(p\) 倍数，即 \(1p,2p,3p,4p,...,p^{k - 1}p\) ，总共有 \(p^{k - 1}\) 个。

   所以去掉包含 \(p\) 的数，就是和 \(n\) 互质的数的个数，即 \(\varphi(n) = p^{k} - p^{k - 1}\) 。

   公式变形，就会有上述三个表示方式。

4. 积性函数：若 \(\gcd(a,b) = 1\)，则 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\) 。

计算公式推导

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由唯一分解定理，

\[n = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i}} = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot p_{3}^{a_{3}} ... \cdot p_{k}^{a_{k}} \]

\(p_{i}\) 是 \(n\) 的质因子

提醒：$\prod_{a}^{b} $ 是乘积运算符号，代表 \(a \sim b\) 所有数的乘积，即 \(a \times (a + 1) \times ... \times b\) 。

那么有，

\[\varphi(n) = \varphi({\textstyle \prod_{i = 1}^{k}}p_{i}^{a_{i}}) \]

因为对于任意的 \(p_{i} ^{a_{i}}，p_{j}^{a_{j}}(1 \le i,j \le k)\) 都是互质的，所以用到上面的性质4：若 \(\gcd(a,b) = 1\)，则 \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\) 。那么可以推出，

\[\begin{align} \varphi(n) & = \varphi({\textstyle \prod_{i = 1}^{k}}p_{i}^{a_{i}})\\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} \varphi(p_{i}^{a_{i}}) \end{align} \]

然后再根据性质3，推出

\[\begin{align} \varphi(n) & = \varphi({\textstyle \prod_{i = 1}^{k}}p_{i}^{a_{i}}) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} \varphi(p_{i}^{a_{i}}) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i} - 1}(p_{i} - 1)\\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i}}(1 - \frac{1}{p_{i}}))\\ \end{align} \]

最后进行公式变形，可得

\[\begin{align} \varphi(n) & = \varphi({\textstyle \prod_{i = 1}^{k}}p_{i}^{a_{i}}) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} \varphi(p_{i}^{a_{i}}) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i} - 1}(p_{i} - 1) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i}}(1 - \frac{1}{p_{i}}) \\ & = {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} p_{i}^{a_{i}} \times {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}}(1 - \frac{1}{p_{i}}) \\ & = n \times {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} \frac{p_{i} - 1}{p_{i}} \\ & = n \times \frac{p_{1} - 1}{p_{1}} \times \frac{p_{2} - 1}{p_{2}} \times ... \times \frac{p_{k} - 1}{p_{k}} \end{align} \]

公式进行整理，可得

\[\begin{align} \varphi(n) & = n \times {\textstyle \prod_{i = 1}^{k}} \frac{p_{i} - 1}{p_{i}} \\ & = n \times \frac{p_{1} - 1}{p_{1}} \times \frac{p_{2} - 1}{p_{2}} \times ... \times \frac{p_{k} - 1}{p_{k}} \end{align} \]

观察公式就能发现，欧拉函数仅与 \(n\) 及其质因子有关。

求欧拉函数

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分解质因子法

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思路：用试除法分解出 \(n\) 的所有质因子，然后根据推导的公式求解一个数的欧拉函数。

时间复杂度：\(O(\sqrt n )\)

代码：

// 分解质因数求欧拉函数
int phi(int n) {
    int res = n;
    // 分解质因子
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) {
            // 公式求值
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) res = res / i * (i - 1);
    
    return res;
}

筛法求欧拉函数

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// 线性筛法求 1 ~ n 的 质数

const int N = 1e5 + 10;
int p[N], cnt;	// p[]存储所有素数
bool st[N];	 // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n) {
	st[1] = true;
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) p[cnt++] = i;
        for (int j = 1; p[j] <= n / i; j++) {
            st[p[j] * i] = true;
            if (i % p[j] == 0) break;
        }
    }
}

思路：

观察上面的线性筛质数的代码，我们可以再用一个 phi[] 来存储每一个数的欧拉函数，即 \(phi[i] = \varphi(i)\) 。

若 \(i\) 是质数，根据性质1可得 \(phi[i] = i - 1\) 。

而且在线性筛中，每个合数（非质数）都会被自身的最小质因子筛掉。那么设 \(p_{j}\) 是 \(m\) 的最小质因子，根据线性筛，就想办法让 \(m\) 通过 \(m = p_{j} \times i\) 筛掉。

• 若 \(i\) 能被 \(p_{j}\) 整除，则 \(i\) 就包含了 \(m\) 的所有质因子。

  若 \(i\) 能被 \(p_{j}\) 整除，说明 \(p_{j}\) 也是 \(i\) 的质因子。又因为 \(p_{j}\) 也是 \(m\) 的质因子，而且 \(m = p_{j} \times i\) ，所以 \(i\) 就包含了 \(m\) 的所有质因子。

  然后再根据推导的公式变形，得

  \[\begin{align} \varphi(m) & = m \times {\textstyle \prod_{k = 1}^{S}} \frac{p_{k} - 1}{p_{k}} \\ & = p_{j} \times i \times {\textstyle \prod_{k = 1}^{S}} \frac{p_{k} - 1}{p_{k}} \\ & = p_{j} \times \varphi(i) \end{align} \]

  根据推导公式，一个数得欧拉函数只与其本身和其质因子有关。

  虽然 \({\textstyle \prod_{k = 1}^{S}} \frac{p_{k} - 1}{p_{k}}\) 是从 \(\varphi(m)\) 推导出来的，但是因为 \(i\) 与 \(m\) 的质因子相同，所以也可以被用来推导出 \(\varphi(i)\) 。

• 若 \(i\) 不能被 \(p_{j}\) 整除，则 \(i\) 和 \(p_{j}\) 是互质的。

  因为 \(p_{j}\) 是质数，除了 \(p_{j}\) 本身，就没有其他的质因子。若 \(i\) 不能被 \(p_{j}\) 整除，那么 \(i\) 和 \(p_{j}\) 就没有相同的质因子，那么两者就是互质的。

  然后根据性质4和性质1进行公式变形，得

  \[\begin{align} \varphi(m) & = \varphi(p_{j} \times i) \\ & = \varphi(p_{j}) \times \varphi(i) \\ & = (p_{j} - 1) \times \varphi(i) \end{align} \]

总结上面的思路，就能得到所有的情况，

• 若 \(i\) 是 质数，得 \(\varphi(i) = i - 1\) 。
• 若 \(i\) 不是质数，说明已经被自己的质因子赋值了。
• 遍历 \(p[1 \sim cnt]\) ，
  • 若 \(i\) 能被 \(p_{j}\) 整除，得 \(\varphi(m) = p_{j} \times \varphi(i)\) ，并退出遍历。
  • 若 \(i\) 不能被 \(p_{j}\) 整除，得 \(\varphi(m) = (p_{j} - 1) \times \varphi(i)\) 。

时间复杂度： \(O(N)\)

代码：

const int N = 1e5 + 10;
int p[N], cnt;	// p[] 存储所有素数
int phi[N];	// phi[x] 存储 x 的欧拉函数值
bool st[N];	// st[x] 存储 x 是否被筛掉

// 线性筛法求欧拉函数
void get_phi(int n) {
    phi[1] = 1;
    st[1] = true;
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        // 没有被筛过，说明是质数
        if (!st[i]) {
            p[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        
        for (int j = 0; p[j] <= n / i; j++) {
            int m = i * p[j];
          	st[m] = true;
            // 判断是否能整除，然后根据公式赋值
            if (i % p[j] == 0) {
                phi[m] = p[j] * phi[i];
                break;
            } else phi[m] = (p[j] - 1) * phi[i];
        }
    }
}

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参考资料

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欧拉函数 - OI Wiki (oi-wiki.org)：https://oi-wiki.org/math/number-theory/euler/

【RSA原理2】浅谈--什么是欧拉函数 韦_恩的博客-CSDN博客：https://blog.csdn.net/qq_42539194/article/details/118514310

董晓算法 515 筛法求欧拉函数：https://www.bilibili.com/video/BV1VP411p7Bs

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