acdream：Andrew Stankevich Contest 3：Two Cylinders：数值积分

Two Cylinders

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Problem Description

      In this problem your task is very simple.

      Consider two infinite cylinders in three-dimensional space, of radii R₁ and R₂ respectively, located in such a way that their axes intersect and are perpendicular.

      Your task is to find the volume of their intersection.

Input

      Input file contains two real numbers R₁ and R₂ (1 <= R₁,R₂ <= 100).

Output

      Output the volume of the intersection of the cylinders. Your answer must be accurate up to 10^-4.

Sample Input

1 1

Sample Output

5.3333

Source

Andrew Stankevich Contest 3

 

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算法：先积分，再套用Simpson模板即可。

至于积分，就是高数的内容了，把2个圆柱中半径比较小的设为r₁，半径较大的设为r₂.

我们把小圆柱的轴线重叠z轴放置，大圆柱的轴线重叠y轴放置。

假设有一个平行于yOz平面的平面截得两圆柱的相交部分，得到一个截面，这个截面的面积是多少呢？

假设截面与x轴交于点(x,0,0)，又因为是2个圆柱的相交部分，所以截面的一边长为2√(r₁²-x²)

同理,另一边长为2√(r₂²-x²)

最后得到一个积分：

8∫√(r₁²-x²)(r₂²-x²)dx

对[0,r₁]求积分，就是结果。

 

直接积出来是很困难的，下面就是直接套Simpson模板了，写出全局函数F，其他没什么了。

 

 

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#include<cstdio>
#include<cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

double r1,r2;

// simpson公式用到的函数，就是待积分函数
double F(double x)
{
    return sqrt(r1*r1-x*x)*sqrt(r2*r2-x*x);
}

// 三点simpson法。这里要求F是一个全局函数
double simpson(double a, double b)
{
    double c = a + (b-a)/2;
    return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;
}

// 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A
double asr(double a, double b, double eps, double A)
{
    double c = a + (b-a)/2;
    double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);
    if(fabs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;
    return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);
}

// 自适应Simpson公式（主过程）
double asr(double a, double b, double eps)
{
    return asr(a, b, eps, simpson(a, b));
}

// 用自适应Simpson公式计算积分数值
double getValue()
{

    return asr(0, r1, 1e-5)*8; // 第一第二个参数为积分区间，第三个参数为精度
}

int main()
{
    while(~scanf("%lf%lf",&r1,&r2))
    {
        if(r1>r2)
            swap(r1,r2);
        printf("%.10f\n",getValue());
    }
    return 0;
}