同余方程，不定方程总结

听说这是数论中比较重要的部分了，一点点的总结吧。。

一.线性同余方程与不定方程：

 

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long tt=exgcd(b,a%b,x,y);
    long long t;
    t=x;
    x=y;
    y=(t-a/b*y);
    return tt;
}

 

单个一元线性方程

求解方法：扩展欧几里得 exgcd

模板：

原理：对于整数 a，b

。存在 x，y使 x*a+y*b=gcd(a,b)；

当b=0时，有gcd(a,b)=a，显然此时 x=1，y=0. 

exgcd算法可以在朴素 gcd 中的一步一步的递归中迭代更新 x，y的值，最终求出 x*a+y*b=gcd(a,b)的一组解。

利用exgcd求不定方程 x*a+y*b=c 解的步骤：

（1）.用 exgcd求出 d=gcd(a,b) 和 x*a+y*b=gcd(a,b) 一组解 x0，y0 ;

（2）.判断  c%d==0，则有解，否则无解

（3）.令 x=x0*c/d，y=y0*c/d；则得到此方程的一组解 x，y

（4）.若需要求最大最小解，再线性变换 x，y查找。

例：  x*a+y*b=c  ，y每增加1，x减小b/a，化为互质整数：y增加a/d，x减小b/d，可见x的周期是b/d

所以要找最小的x 只需要 x=(x%(b/d)+b/d)%(b/d)即可。

求解同余方程 a*x==b mod m，可转化为求 x*a+y*m=b，套用上面的步骤求解即可

例题 poj1061  poj2115

 

一元一次同余方程组 （x ==ai (mod bi) ）：

 

朴素解法:

思想：方程的合并，转化为单个同余方程

参考资料 http://www.cnblogs.com/heweiyou1993/p/3301894.html

模板：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int tt=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t;
    t=x;
    x=y;
    y=(t-a/b*y);
    return tt;
}
int solve()
{
    int a1,a2,b1,b2,x,y,A,B,C,d,t;
    a1=a[0];
    b1=b[0];
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        a2=a[i];
        b2=b[i];
        A=a1;
        B=a2;
        C=b2-b1;
        d=exgcd(A,B,x,y);
        if(C%d)
        {
            return -1;
        }
        t=B/d;
        x=(x*(C/d)%t+t)%t;
        b1=a1*x+b1;
        a1=a1/d*a2;
    }
    return b1;
}

例题：hdu1573 题解：http://www.cnblogs.com/oneshot/p/3986633.html

 

中国剩余定理：

 在同余方程组x==ai mod bi 中，如果 bi互质，那么可以通过中国剩余定理快速求解

模板：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=(t-a/b*y);
    return r;
}
int china(int n)
{
    int M=1;
    int ans=0;
    int x,y,d;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        M*=m[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int mi=M/m[i];
        int x,y;
        d=exgcd(mi,m[i],x,y);
        ans=(ans+a[i]*mi*x)%M;
    }
    while(ans<0)
        ans+=M;
    return ans;
}

例题：poj1006 题解：http://www.cnblogs.com/oneshot/p/3986679.html

 

多元线性同余方程组：

 暂时还没有做过这种题 先不看了

 

二.高次同余方程组

 形式：

A^X mod C =B

 

 

三.特殊的不定方程

 

费马大定理

内容：

方程x^n+y^n=z^n 当n>=3时无非0整数解。。 

 

毕达哥拉斯三元组

 毕达哥拉斯定理就是勾股定理 x2+y2=z2；

 满足 gcd(x,y,z)=1的 称为本源毕达哥拉斯三元组

 本源三元组满足 x=m2-n2; y=2mn; z=m2+n2  其中 m,n不同奇偶

 我们在求所有三元组的时候只需要先求出本源三元组即可。

例题： poj 1305（概念题）http://www.cnblogs.com/oneshot/p/3990978.html

 

佩尔方程

形式：

 x^2-d*y^2=1 （d>1 && d不为完全平方数）

设最小特解 x0,y0

则有迭代公式  xn=xn-1 * x0 +d*yn-1*y0

                   yn=xn-1 * y0 +yn-1 * x0

得到最小特解（暴力）后 可以用矩阵快速幂求所有解

先挖坑，矩阵刷了再回来填。。

例题poj 1320   hdu 3292