分解质因数-详细解释

题目：给一个正整数N，分解质因数，按照从小到大输出。

例如：给了正整数100，就可以分解成下面的这样：

分解：2 2 5 5

解析：

先来想一个事情，按照从小到大输出，那么肯定是这种形态：

(若干个2) (若干个3) (若干个5) ... (...) 按照【质数】顺序，形成一个最终分解方式。

这里，若干个，也包括0个。

比如示例的100，

(2个2) (0个3) (2个5).

其实我们就是要找，有几个2，有几个3，有几个5，以此类推。

好，逻辑上就可以这么来想，给定一个正整数N：

第一步：看N能被2整除几次，2的个数就算出来了，如果不能被2整除，那么2的个数就是0个。

第二部：同理，看N（注意这里确实写的是N，而不是上一步除以2的结果）能被3整除几次，3的个数就算出来了，如果不能被3整除，那么3的个数就是0个。

以此类推。。

那么，这样做，有一个问题：

就是，你事先得有一个质数表，就像这样（2，3，5，7，11，。。。。。等等），如果你没有这个表，你就得这么搞：

第一步，计算2的个数；

第二步，找到比2大的一个质数，这里找到了3，计算3的个数；

第三步，找到比3大的一个质数，这里找到了5，计算5的个数；

，，以此类推。。。

这样搞，相当于，在程序里面，又加了一个冗余的功能，找下一个质数。这样就复杂了。

 

优化：

我随便给出一个分解结果：

[2 2] -> [3 3 3] -> [5 5] -> [7]

这种。

观察。

每个箭头后面的所有数的乘积有一个性质，肯定不含有前面的任意因子的倍数。

解释一下这句话，比如说[2 2]->这个箭头后面肯定不能分解出 【2 4 6 8 10等等】 这样的因子了。

[2 2] -> [3 3] -> 这个箭头，后面肯定不能分解出【2 4 6 8 10等等】和【3 6 9 12 15 等等】这样的因子了。

这样可以推出：每个箭头后面的所有数的乘积，的最小因子，肯定是质数。

解释一下这句话：

比如说[2 2]->这个箭头后面，最小因子是3，3就是个质数。

[2 2] -> [3 3 3] -> 这个箭头后面，最小因子是5，5也是个质数。

所以在写程序的时候：

第一步：从2开始，计算个数，保留整除的结果。

再去计算3，保留整除的结果。

再去计算4，因为上面说了，到了这一步，不可能被整除，所以可以不用判断4到底是不是质数。【加强解释：如果这一步会被4整除，那么，第一步（算2的那一步）的循环会结束么？不可能结束。】

再去计算5，保留整除的结果。

等等。。

等等。。

所以程序就很好写了:

void fun(int N)
{
    int re = N;
    if(N == 1)
    {
        return;
    }
    for(int i = 2; i!=N;i++)
    {
        for(int j = 0; ;j++)
        {
             if(re%i == 0)
             {
                 printf("%d ", i);
                 re = re / i;
             }
             else
             {
                 break;
             }
        }
    }
}