证明 $$\text{tr}(\lang\psi|A|\psi\rang)=\text{tr}(A|\psi\rang\lang\psi|)=\lang\psi|A|\psi\rang$$

其中，\(A\) 是任意算子，\(\lang\psi|\psi\rang=1\).

\[\begin{align} \text{tr}(A|\psi\rang\lang\psi)&=\sum_i\lang i|A|\psi\rang\lang\psi| i\rang\\ &=\lang \psi|A|\psi\rang\delta_{\psi i}\\ &=\lang \psi|A|\psi\rang\lang \psi|\psi\rang\\ &=\lang\psi|A|\psi\rang \end{align} \]

解析：

• 第一个等号，左乘\(\lang i|\)相当于取第\(i\) 行，右乘\(|i\rang\)相当于取第\(i\)列，取出 \(A|\psi\rang\lang\psi|\) 的第\(i\)行和第\(i\)列，然后求和，相当于求迹.
• 第二个等号，当\(i=\psi\)时，\(\lang\psi|i\rang=1\); 当\(i \neq \psi\)时，\(\lang\psi|i\rang=0\);
• 第三个等号，只保留\(i=\psi\)，此时 \(\lang\psi|i\rang=\lang\psi|\psi\rang\)；
• 第四个等号，\(|\psi\rang\) 是单位向量，\(\lang\psi|\psi\rang=1.\)
• 迹的循环性质，tr$(A|\psi\rang\lang\psi|)= $ tr\((\lang\psi|A|\psi\rang)\).