再谈密度算子

再谈密度算子

之前已经写了一篇关于密度算子的 量子力学基础-6. 上一篇文章参考的是马瑞霖的《量子密码通信》，写的比较浅显易懂，并没有涉及密度算子在复合系统中的应用. 我又写了这篇参考 Nielsn 和 Chuang的《Quantum Computation and Quantum Information》以及赵千川翻译的中文版. 首先回顾了密度算子及其性质，然后重点介绍了密度算子在复合量子系统和未知状态量子系统中的应用----约化密度算子.

量子状态的系综

密度算子语言为描述状态不完全已知的量子系统提供了一条方便的途径. 假设一个量子系统处在一组状态\(|\psi_i\rang\) 中的一个，概率是\(p_i\), 那么我们称 \(\{p_i,|\psi_i\rang\}\) 为纯态系综(ensemble of pure states). 系统的密度算符是

\[\rho=\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i| \]

• 用密度算子来描述演化

  一个封闭量子系统的演化可以用酉算子\(U\)来描述. 如果一个系统最初以概率\(p_i\) 处在状态\(|\psi_i\rang\), 那么经过酉算子演化后的系统将以概率\(p_i\) 处在状态\(U|\psi_i\rang\). 密度算子的演化可以通过下式来描述：

\[\rho=\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i| \overset{U}{\rightarrow} \rho^{'}=\sum_ip_iU|\psi_i\rang\lang\psi_i|U^\dagger=U\Big(\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|\Big)U^\dagger=U\rho U^\dagger \]

• 用密度算子来描述测量

  假设我们用密度算符\(M_m\)来执行测量，如果初始状态是\(|\psi_i\rang\) ，则得到结果\(m\)的概率是

  \[P(m|i)=\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang=\text{tr}(\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang)=\text{tr}(M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang\lang\psi_i|) \]

  根据全概率公式，获得结果\(m\) 的概率是

  \[\begin{align} p(m)&=\sum_ip(m|i)p_i\\ &=\sum_i\text{tr}(M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang\lang\psi_i|)p_i\\ &=\text{tr}(M_m^\dagger M_m\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|)\\ &=\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) \end{align} \]

  那么在获得测量结果\(m\)后，系统的密度算子是什么呢？如果初始状态是\(|\psi_i\rang\), 那么经过\(M_m\) 测量，测量结果为\(m\), 测量后的状态是

  \[|\psi_i^m\rang=\frac{M_m|\psi_i\rang}{\sqrt{p(m|i)}}=\frac{M_m|\psi_i\rang}{\sqrt{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang}} \]

  因此，经过结果为\(m\)的测量，我们又得到了一个系综\(\{p(i|m),|\psi_i^m\rang\}\) (这里比较难理解！！！) 相应的密度算子也就是获得测量结果\(m\)后系统的密度算子

  \[\begin{align} \rho^m&=\sum_ip(i|m) |\psi_i^m\rang\lang\psi_i^m|\\ &=\sum_i\frac{p(i,m)}{p(m)} |\psi_i^m\rang\lang\psi_i^m|\\ &=\sum_i \frac{p(m|i)p_i}{p(m)} |\psi_i^m\rang\lang\psi_i^m|\\ &=\sum_i \frac{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang p_i}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)} \frac{M_m|\psi_i\rang}{\sqrt{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang}} \frac{\lang\psi_i| M_m^\dagger}{\sqrt{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang}}\\ &=\sum_i \frac{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang p_i}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)} \frac{M_m|\psi_i\rang\lang\psi_i| M_m^\dagger}{\lang\psi_i|M_m^\dagger M_m|\psi_i\rang}\\ &=\sum_i \frac{p_iM_m|\psi_i\rang\lang\psi_i| M_m^\dagger}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)}\\ &=\frac{M_m\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|M_m^\dagger}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)} \\ &=\frac{M_m\rho M_m^\dagger}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)} \end{align} \]

一个状态\(|\psi\rang\)完全已知的量子系统称为处于纯态(pure state). 此时，密度算子\(\rho=|\psi\rang\lang\psi|\), 否则\(\rho\)处在混合态(mixed state), 称为是在\(\rho\)的系综中不同纯态的混合. 判断纯态和混合态的简单方法：纯态，tr\((\rho^2)=1\); 混合态，tr\((\rho^2)<1\).

• 密度算符的混合

  想象一个量子系统以概率\(p_i\) 处在态\(\rho_i\), 那么这个系统的密度矩阵可以用\(\rho=\sum_ip_i\rho_i\) 来描述，也就是说\(\rho\) 是概率为\(p_i\) 的态\(\rho_i\) 的混合.假设\(\rho_i\) 来自一些纯态的系综\(\{p_{ij}, |\psi_{ij}\rang\}\) （\(i\) 是固定的）. 我们定义

  \[\rho_i=\sum_j p_{ij}|\psi_{ij}\rang\lang\psi_{ij}| \]

  则

  \[\begin{align} \rho&=\sum_ip_i\rho_i\\ &=\sum_ip_i \sum_j p_{ij}|\psi_{ij}\rang\lang\psi_{ij}|\\ &=\sum_i\sum_j p_ip_{ij}|\psi_{ij}\rang\lang\psi_{ij}| \end{align} \]

  上面的方法可以应用于测量场景. 比如说，测量结果\(m\) 的记录丢失了，我们将以概率\(p(m)\) 处在\(\rho_m\), 但不知道\(m\) 的实际值. 那么，这个量子系统的状态可以用下面的密度算子来描述.

  \[\begin{align} \rho&=\sum_m p(m)\rho_m\\ &=\sum_m \text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho) \frac{M_m\rho M_m^\dagger}{\text{tr}(M_m^\dagger M_m\rho)}\\ &=\sum_mM_m\rho M_m^\dagger \end{align} \]

密度算子的一般性质

• \(\rho\)是某个系综\(\{p_i,|\psi_i\rang\}\) 的密度算子 \(\Longleftrightarrow\) 迹为1的半正定算子\(\rho\)

  证明：

  • 先证明 \(\Longrightarrow\),

    因为 \(\rho\)是某个系综\(\{p_i,|\psi_i\rang\}\) 的密度算子，所以\(\rho\) 可以写为 \(\rho=\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|\)

    • 迹为1.

      tr\((\rho)=\text{tr}(\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|)=\sum_ip_i\text{tr}(|\psi_i\rang\lang\psi_i|)=\sum_ip_i\text{tr}(\lang\psi_i|\psi_i\rang)=\sum_ip_i\lang\psi_i|\psi_i\rang=\sum_ip_i=1\)

    • 半正定

      设 \(|\phi\rang\)是状态空间的任一向量，

      \(\lang\phi|\rho|\phi\rang=\lang\phi|\sum_ip_i|\psi_i\rang\lang\psi_i|\phi\rang=\sum_ip_i\lang\phi|\psi_i\rang\lang\psi_i|\phi\rang==\sum_ip_i|\lang\phi|\psi_i\rang|^2 \geq0\)

  • 再证明 \(\Longleftarrow\),

    设\(\rho\)是迹为1和半正定的任意算子. 由于\(\rho 半正定 \Longrightarrow \rho厄米 \Longrightarrow \rho正规 \Longleftrightarrow \rho可以谱分解\)，

    \[\rho=\sum_j\lambda_j|j\rang\lang j| \]

    其中，向量组\(|j\rang\)是正交的，\(\lambda_j\) 是实数，是\(\rho\)的非负特征值. 从迹条件可知，

    \[\text{tr}(\rho)=\text{tr}(\sum_j\lambda_j|j\rang\lang j|)=\sum_j\lambda_j\text{tr}(|j\rang\lang j|)=\sum_j \lambda_j=1 \]

    即，\(\sum_j \lambda_j=1\), 也就是说一个以概率\(\lambda_j\) 处于状态\(|j\rang\) 的系统将具有密度算子\(\rho\)，即系综\(\{\lambda_j,|j\rang\}\) 是产生密度算子\(\rho\) 状态组的一个系综.

    也就是说，我们可以把密度算子定义为一个迹等于1的半正定算子.

• 用密度算子描述量子力学的四个基本假设.

  • 假设1（状态空间）

    任意孤立物理系统都与一个称为系统状态空间的复内积向量空间(即 Hilbert 空间) 相联系. 系统完全可以由密度算子来描述, 密度算子是一个半正定且迹为1的算子\(\rho\). 如果该量子系统以概率\(p_i\) 处在状态\(\rho_i\), 则系统的密度算子是\(\sum_ip_i\rho_i.\)

  • 假设2（演化）

    封闭量子系统的演化由一个酉变换描述 , 即系统在时刻\(t_1\)的状态\(\rho\) 和在时刻\(t_2\) 的状态\(\rho^{'}\) 由一个仅依赖于时间\(t_1\) 和\(t_2\) 的酉算子\(U\)联系，\(\rho^{'}=U\rho\).

  • 假设3（量子测量）

    量子测量由一组测量算子\(M_m\)描述，这些算子作用在被测系统的状态空间上. 索引\(m\) 表示实验中可能出现的结果. 如果在测量前，量子系统的状态是\(\rho\), 则结果\(m\) 出现的概率是 \(p(m)=tr(M_m^\dagger M_m \rho)\)，测量后的状态是\(\frac{M_m\rho M_m^\dagger}{tr(M_m^\dagger M_m \rho)}=\frac{M_m\rho M_m^\dagger}{p(m)}\). 测量算子满足完备性方程：\(\sum_m M_m^\dagger M_m=I\).

  • 假设4（复合系统）

    复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积，若将分系统编号为1到\(n\), 分系统 \(i\) 到状态处于 \(\rho_i\), 则整个系统的联合状态是\(\rho_1 \otimes \rho_2 \otimes \cdots \otimes\rho_n\).

    注意：在数学上，这些密度算子形式描述的量子力学基本假设等价于用状态向量的描述. 不过作为一种认识量子力学的方式，密度算子方法在以下两方面的应用上作用突出：描述状态未知的量子系统和描述复合系统的子系统.

  • 两个不同的量子状态系综可产生同一个密度矩阵. 更一般地，密度矩阵的特征值和特征向量仅表示产生密度矩阵的许多系综中的一个，没有理由表明哪个系统是特殊的.

    比如说，不能说密度矩阵

    \[\rho=\frac{3}{4}|0\rang\lang 0|+\frac{1}{4}|1\rang\lang1| \]

    的量子系统必然以\(3/4\)的概率处于状态\(|0\rang\)， 而以\(1/4\)的概率处于状态\(|1\rang\). 定义下式

    \[|a\rang=\sqrt{\frac{3}{4}}|0\rang+\sqrt{\frac{1}{4}}|1\rang\\ |b\rang=\sqrt{\frac{3}{4}}|0\rang-\sqrt{\frac{1}{4}}|1\rang\\ \]

    则

    \[\begin{align} |0\rang&=\frac{1}{\sqrt{3}}(|a\rang+|b\rang)\\ |1\rang&=|a\rang-|b\rang\\ \lang0|&=\frac{1}{\sqrt{3}}(\lang a|+\lang b|)\\ \lang1|&=\lang a|-\lang b| \end{align} \]

    则

    \[\begin{align} \rho&=\frac{3}{4}|0\rang\lang 0|+\frac{1}{4}|1\rang\lang1|\\ &=\frac{3}{4}\frac{1}{\sqrt{3}}(|a\rang+|b\rang)\frac{1}{\sqrt{3}}(\lang a|+\lang b|) + \frac{1}{4}(|a\rang-|b\rang)(\lang a|-\lang b|)\\ &=\frac{1}{4}(|a\rang+|b\rang)(\lang a|+\lang b|)+\frac{1}{4}(|a\rang-|b\rang)(\lang a|-\lang b|)\\ &=\frac{1}{4}|a\rang\lang a|+\frac{1}{4}|a\rang\lang b|+\frac{1}{4}|b\rang\lang a|+\frac{1}{4}|b\rang\lang b|\\ &+\frac{1}{4}|a\rang\lang a|-\frac{1}{4}|a\rang\lang b|-\frac{1}{4}|b\rang\lang a|+\frac{1}{4}|b\rang\lang b|\\ &=\frac{1}{2}|a\rang\lang a|+\frac{1}{2}|b\rang\lang b| \end{align} \]

    即

    \[\rho=\frac{3}{4}|0\rang\lang 0|+\frac{1}{4}|1\rang\lang1|=\frac{1}{2}|a\rang\lang a|+\frac{1}{2}|b\rang\lang b| \]

    也就是说\(\rho\)在系综\(\{p_i,|\phi_i\rang\}\)中，\(p_1=\frac{3}{4},|\phi_1\rang=|0\rang,p_2=\frac{1}{4},|\phi_2\rang=|1\rang\); \(\rho\)在系综\(\{q_i,|\psi_i\rang\}\)中，\(q_1=\frac{1}{2},|\psi_1\rang=|a\rang,q_2=\frac{1}{2},|\psi_2\rang=|b\rang\).

约化密度算子

密度算子最深刻的应用也许是作为描述复合子系统的工具，主要是约化密度算子(reduced density operator). 事实上，约化密度算子非常重要，它是分析复合量子系统不可缺少的工具.

假设有物理系统\(A\)和\(B\)，其状态由密度算子\(\rho^{AB}\)描述，针对系统\(A\)的约化密度算子定义为

\[\rho^A \equiv \text{tr}_B(\rho^{AB}) \]

其中\(\text{tr}_B\)是一个算子映射，称为在系统\(B\)上的偏迹，偏迹定义为

\[\text{tr}_B(|a_1\rang|\lang a_2| \otimes |b_1\rang\lang b_2\rang)=|a_1\rang|\lang a_2|\text{tr}(|b_1\rang\lang b_2\rang)=|a_1\rang|\lang a_2|\text{tr}(\lang b_2|b_1\rang)=|a_1\rang|\lang a_2|\lang b_2|b_1\rang \]

其中\(|a_1\rang\) 和\(|a_2\rang\) 是状态空间\(A\) 中的两个向量，\(|b_1\rang\) 和\(|b_2\rang\) 是状态空间\(B\) 中的两个向量. 等式右边的迹运算是系统\(B\)上的普通运算.

下面的简单算例也许有助于对约化密度算子的理解. 首先，设量子系统处于\(\rho^{AB}=\rho \otimes \sigma\) 状态，其中\(\rho\) 是系统\(A\) 的一个密度算子，\(\sigma\) 是系统\(B\) 的一个密度算子，则

\[\rho^A=\text{tr}_B(\rho^{AB})=\text{tr}_B(\rho \otimes\sigma)=\rho\text{tr}(\sigma)=\rho\\ \rho^B=\text{tr}_A(\rho^{AB})=\text{tr}_A(\rho \otimes\sigma)=\sigma\text{tr}(\rho)=\sigma\\ \]

Bell 态\(|\psi\rang = \frac{|00\rang+|11\rang}{\sqrt{2}}\)是一个更不平凡的例子，它具有密度算子

\[\begin{align} \rho&=|\psi\rang\lang\psi|\\ &=\frac{|00\rang+|11\rang}{\sqrt{2}} \frac{\lang00|+\lang11|}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{1}{2}(|00\rang\lang00|+|11\rang\lang00|+|00\rang\lang11|+|11\rang\lang11|) \end{align} \]

对第二量子比特取迹，得到对第一量子比特的约化密度算子

\[\begin{align} \rho^1&=\text{tr}_2(\rho)\\ &=\text{tr}_2(\frac{1}{2}(|00\rang\lang00|+|11\rang\lang00|+|00\rang\lang11|+|11\rang\lang11|))\\ &=\frac{1}{2}\Big(\text{tr}_2(|00\rang\lang00|)+\text{tr}_2(|11\rang\lang00|)+\text{tr}_2(|00\rang\lang11|)+\text{tr}_2(|11\rang\lang11|)\Big)\\ &=\frac{1}{2}|0\rang\lang 0|\text{tr}(|0\rang\lang 0|) + \frac{1}{2}|1\rang\lang 0|\text{tr}(|1\rang\lang 0|)+\frac{1}{2}|0\rang\lang 1|\text{tr}(|0\rang\lang 1|)+\frac{1}{2}|1\rang\lang 1|\text{tr}(|1\rang\lang 1|)\\ &=\frac{1}{2}|0\rang\lang 0|\text{tr}(\lang 0|0\rang) + \frac{1}{2}|1\rang\lang 0|\text{tr}(\lang 0|1\rang)+\frac{1}{2}|0\rang\lang 1|\text{tr}(\lang 1|0\rang)+\frac{1}{2}|1\rang\lang 1|\text{tr}(\lang 1|1\rang)\\ &=\frac{1}{2}|0\rang\lang 0| \cdot 1 + \frac{1}{2}|1\rang\lang 0| \cdot 0+\frac{1}{2}|0\rang\lang 1| \cdot 0+\frac{1}{2}|1\rang\lang 1| \cdot 1\\ &=\frac{1}{2}|0\rang\lang 0| + \frac{1}{2}|1\rang\lang 1|\\ &=\frac{I}{2} \end{align} \]

同理可得，\(\rho^2=\frac{I}{2}\). 实际上，可以计算得到四个 Bell 态中的每一个，针对每个量子比特的约化密度算子都是\(\frac{I}{2}\). 注意此时这个状态是一个混合态，因为\(\text{tr}((I/2)^2)=1/2<1\). 这是一个非常引人瞩目的结果，也就是说双量子比特联合系统的状态是一个精确已知的状态，但是第一量子比特处于混合态，即我们不具备完全知识的一个状态. 这个奇特的性质，即系统的联合态完全已知，而子系统却处于混合态，是量子纠缠现象的另一特点.

\(\color{red}{Note}\): 为什么在描述较大的量子系统时要用偏迹，这样做的原因在于，偏迹是惟一可以正确描述复合系统子系统内可观测量的运算.

参考文献

[1] [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.

[2] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科学出版社，2013.