各种分解

谱分解

\(\lambda_i\)和\(|i\rang (i=1,2,\cdots,n)\)分别是算符\(A\)的\(n\)个本征值及其本征向量.

\(A=\sum_i \lambda_i |i\rang\lang i|=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}\)

• \(正规算符 \Longleftrightarrow 可对角化及谱分解\)
• \(厄米算子 \Longleftrightarrow A=A^\dagger \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)

极式(polar)分解和奇异值(singular value)分解

极式(polar)分解和奇异值(singular value)分解可以把一般线性算子分解成酉算子和半正定算子的乘积. 虽然我们对一般线性算子的结构不是很了解，但对酉算子和半正定算子知道的相当清楚，极式分解和奇异值分解使我们利用这些知识可以更好地去了解一般线性算子.

• 极式分解

  \(A\)是线性算子，存在酉算子\(U\)和唯一的半正定算子\(J\) 和\(K\)，有

  ​ \(A\) 的左极式分解，\(A=UJ，J=\sqrt{A^\dagger A}\)

  ​ \(A\) 的右极式分解，\(A=KU，K=\sqrt{AA^\dagger}\)

  注意：如果\(A\)可逆，那么酉算子\(U\)也是唯一的. 另外，我们一般不区分左右，统称极式分解，具体是 ”左“ 还是 ”右“ 看上下文理解.

• 奇异值分解

  \(A\)是方阵，必存在酉矩阵\(U、V\)和非负对角阵\(D\), 使得 \(A=UDV\), \(D\)的对角元素称为\(A\) 的奇异值.

  提示：奇异值分解是极式分解和谱分解定理的结合.

Schmidt 分解

设\(|\psi\rang\) 是复合系统\(AB\)的一个纯态，则存在系统\(A\)的标准正交基\(|i_A\rang\) 和系统\(B\)的标准正交基\(|i_B \rang\) ，使得

\[|\psi\rang=\sum_i\lambda_i|i_A\rang|i_B\rang \]

其中\(\lambda_i\) 是满足\(\sum_i\lambda_i^2=1\) 的非负实数，称为Schmidt 系数.

重要结论：系统\(A\)的约化密度算子\(\rho^A=\sum_i\lambda_i^2|i_A\rang\lang i_A|\)，系统\(B\)的约化密度算子\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\), 两个约化密度算子的特征值均为\(\lambda_i^2.\)

推导如下：

\(\rho^{AB}=|\psi\rang\lang\psi|=\sum_i\lambda_i|i_A\rang|i_B\rang \sum_i\lambda_i\lang i_A| \lang i_B| =\sum_i\lambda_i^2 \Big(|i_A\rang \otimes |i_B\rang \Big) \Big(\lang i_A| \otimes \lang i_B| \Big)\)

\(\rho^A=tr_B(\rho^{AB})=tr_B\Big(\sum_i\lambda_i^2 (|i_A\rang \otimes |i_B\rang ) (\lang i_A| \otimes \lang i_B| )\Big)=\sum_i \lambda_i^2 tr_B \Big(|i_A\rang\lang i_A| \otimes |i_B\rang \lang i_B| \Big) \\= \sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(|i_B\rang \lang i_B|)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| tr(\lang i_B|i_B\rang)\\=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A| (\lang i_B|i_B\rang)=\sum_i \lambda_i^2 |i_A\rang \lang i_A|\)

类似地，可以得到\(\rho^B=\sum_i\lambda_i^2|i_B\rang\lang i_B|\).