各种算符之间的关系

• 先来说下常用算符的定义.

  半正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang \geq 0\)

  正定算符: \(\lang\psi|A|\psi\rang > 0\)

  厄米算符: \(A=A^\dagger\), 特征值是实数.

  幺正算符(酉算符): \(A^\dagger=A^{-1}, 即 AA^\dagger=I\)

  正规算符: \(AA^\dagger=A^\dagger A\), 充要条件是可以进行对角化及谱分解.

• 再说说这几个之间的关系.

  • 半正定算子一定是厄米算子. 详细证明见我的博文 证明半正定算子一定是厄米的.

  • 厄米算子一定是正规算子.

    \(厄米算子 \Longleftrightarrow A=A^\dagger \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)

  • 酉算子一定是正规算子.

    \(酉算子 \Longleftrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A=I \Longrightarrow AA^\dagger=A^\dagger A \Longleftrightarrow 正规算子\)