量子力学基础-3

4. 量子力学的基本假设

4.1 基于态矢量的描述

假设1（状态空间）

任意孤立物理系统都有一个称为系统状态空间的复内积向量空间(即 Hilbert 空间) 与之相联系，系统完全由状态矢量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量.

假设2（演化）

一个封闭量子系统的演化可以由一个酉变换来刻画. 即系统在时刻\(t_1\) 的状态\(|\psi\rang\) 和系统在时刻\(t_2\) 的状态\(|\psi^{'}\rang\), 可以通过一个仅依赖于时间\(t_1\)和\(t_2\) 酉算子\(U\) 相联系: \(|\psi^{'}\rang=U|\psi\rang\).

• 酉变换保持内积不变

• 典型的酉算子有泡利算子，Hadamard算子.

  \(H|0\rang=\frac{|0\rang+|1\rang}{\sqrt{2}}=|+\rang\)

  \(H|1\rang=\frac{|0\rang-|1\rang}{\sqrt{2}}=|-\rang\)

  \(H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\1 & -1 \end{bmatrix}\)

假设3（量子测量）

量子测量由一组测量算子\(M_m\)描述，这些算子作用在被测系统的状态空间上. 索引\(m\) 表示实验中可能出现的结果. 如果在测量前，量子系统的状态是\(|\psi\rang\), 则结果\(m\) 出现的概率是\(p(m)=\lang\psi|M_m^\dagger M_m|\psi\rang\), 测量后的状态是\(\frac{M_m|\psi\rang}{\sqrt{\lang\psi|M_m^\dagger M_m|\psi\rang}}=\frac{M_m|\psi\rang}{\sqrt{p(m)}}\). 测量算子满足完备性方程：\(\sum_m M_m^\dagger M_m=I\). 完备性表达了概率和为1的事实：\(1=\sum_m p(m)=\sum_m\lang\psi|M_m^\dagger M_m|\psi\rang\).

假设4（复合系统）

复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积，若将分系统编号为1到\(n\), 分系统\(i\)到状态被置为\(|\psi_i\rang\), 则整个系统的联合状态是\(|\psi_1\rang \otimes \psi_2\rang \otimes \cdots \otimes|\psi_n\rang\).

符合量子系统中，不能被写作它的分系统状态张量积的状态称为纠缠状态(entangled state).

4.2 基于密度算子的描述

假设1（状态空间）

任意孤立物理系统都与一个称为系统状态空间的复内积向量空间(即 Hilbert 空间) 相联系. 系统完全可以由密度算子来描述, 密度算子是一个半正定且迹为1的算子\(\rho\). 如果该量子系统以概率\(p_i\) 处在状态\(\rho_i\), 则系统的密度算子是\(\sum_ip_i\rho_i.\)

假设2（演化）

封闭量子系统的演化由一个酉变换描述 , 即系统在时刻\(t_1\)的状态\(\rho\) 和在时刻\(t_2\) 的状态\(\rho^{'}\) 由一个仅依赖于时间\(t_1\) 和\(t_2\) 的酉算子\(U\)联系，\(\rho^{'}=U\rho\).

假设3（量子测量）

量子测量由一组测量算子\(M_m\)描述，这些算子作用在被测系统的状态空间上. 索引\(m\) 表示实验中可能出现的结果. 如果在测量前，量子系统的状态是\(\rho\), 则结果\(m\) 出现的概率是 \(p(m)=tr(M_m^\dagger M_m \rho)\)，测量后的状态是\(\frac{M_m\rho M_m^\dagger}{tr(M_m^\dagger M_m \rho)}=\frac{M_m\rho M_m^\dagger}{p(m)}\). 测量算子满足完备性方程：\(\sum_m M_m^\dagger M_m=I\).

假设4（复合系统）

复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积，若将分系统编号为1到\(n\), 分系统 \(i\) 到状态处于 \(\rho_i\), 则整个系统的联合状态是\(\rho_1 \otimes \rho_2 \otimes \cdots \otimes\rho_n\).

注意：在数学上，这些密度算子形式描述的量子力学基本假设等价于用状态向量的描述. 不过作为一种认识量子力学的方式，密度算子方法在以下两方面的应用上作用突出：描述状态未知的量子系统和描述复合系统的子系统.

参考文献

[1] 马瑞霖. 量子密码通信[M]. 北京：科学出版社，2006.

[2] [英]尼尔森，庄著. 量子计算和量子信息(一)--量子计算部分[M]. 赵千川译. 北京：清华大学出版社，2009.

[3] [法]Emmanuel Desurvire. Classical and Quantum Information Theory[M]. 北京：科学出版社，2013.