poj 2891《中国剩余定理》

http://poj.org/problem?id=2891

【题目大意】

给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.

【题目分析】

由于这道题目里面的ai、ri之间不满足两两互质的性质，所以不能用中国剩余定理直接求解。

不过，我们可以模仿中国剩余定理的做法来解决这个问题。

如果只有一个方程：x mod a0 = r0。那么，显然x的最小正值为a0+r0。

根据模的性质，我们容易得知，x+a0*k均为该方程的解。(k为正整数)

如果多了一个方程：x mod a1 = r1。那么，我们为了使之间求得的解x0=a0+r0能够同时满足这两个方程，只好令x0=x0+a0*k，显然这样做x0仍然满足第一个方程。这时候我 们相当于要求解这样一个模方程：(x0+a0*k) mod a1 = r1。这个方程我们可以用拓展欧几里得算法求得k的值。这样，只要令x0变成x0+a0*k，就能同时满足这两个方程了。

推而广之，对于方程x mod ai = ri，假如我们之前求得的解为X，那么我们要令X变成X+k*LCM(a0,a1,a2...ai-1)，使得它满足这个方程。k我们可以用拓展欧几里得 算法求解，LCM可以在每一次更新，这样就能在接近O(klogk)的时间复杂度内解决这个问题了。

无解的判断：若某个(X+k*LCM) mod ai = ri无整数解，那么原方程组无解。

该题虽然数据规模较大，但比较仁慈，所有ai的LCM是64位整型，所以不用使用高精度。

【吐槽】

这题TLE了若干次，WA了若干次。

TLE的原因：本题所有数都是64位整数，我有一些读入没有用%I64d.......

WA的原因：用拓展欧几里得求出来的k有多个值，因为X+ ai*k 都是等价的，所以k可以模一下ai，这样可以避免溢出。直接取余的话，如果求出的k值为负数，那就会得到个负数。所以，取余的时候要写成：((a mod p)+p) mod p。吸取教训了。

#include <cstdlib>
#include <iostream>

using namespace std;
__int64 result,d;
int flag;
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y)
{
   __int64 t,ret;
   if(!b)
   {
     x = 1;
     y = 0;
     return a;     
   }       
   ret=gcd(b,a%b,x,y);
   t=x;
   x=y;
   y=t-a/b*y;
   return ret;
}
void fun(__int64 a,__int64 b,__int64 n)
{
   __int64 x,y;
   d=gcd(a,n,x,y);    
   if(b%d!=0)
    flag =1;
    result=(x*(b/d)%n+n)%n;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
   
    __int64 a1,m1,a2,m2,t;
    while(scanf("%I64d",&t)!=EOF)
    {
       scanf("%I64d %I64d",&m1,&a1);                            
       t--;
       flag=0;
       while(t--)
       {
        scanf("%I64d %I64d",&m2,&a2);         
        fun(m1,a2-a1,m2);
        a1+=m1*result;
        m1=m1*m2/d;
        a1=(a1%m1+m1)%m1;   
       }
       if(flag)
        printf("-1\n");
       else
        printf("%I64d\n",a1);
    }
   
    system("PAUSE");
    return EXIT_SUCCESS;
}