百度--不等式数列

度度熊最近对全排列特别感兴趣,对于1到n的一个排列,度度熊发现可以在中间根据大小关系插入合适的大于和小于符号(即 '>' 和 '<' )使其成为一个合法的不等式数列。但是现在度度熊手中只有k个小于符号即('<'')和n-k-1个大于符号(即'>'),度度熊想知道对于1至n任意的排列中有多少个排列可以使用这些符号使其为合法的不等式数列。 

输入描述:

输入包括一行,包含两个整数n和k(k < n ≤ 1000)

输出描述:

输出满足条件的排列数,答案对2017取模。

输入例子:

5 2

输出例子:

66

基本思想：

定义数组dp[n][k]。其中，dp[i][j]表示有i个数字和j个"<"所能组成的数量，此时">"的数量为i-j-1。

当加入第i + 1个数字时，分以下四种情况：
1.如果将i+1插入当前序列的开头，即有了1<2，加入后成为3>1<2，会发现等于同时加入了一个">"。
2.如果将i+1插入当前序列末尾,即1<2变成了 1<2<3，会发现等于同时加入了一个"<"。
3.如果将i+1加入一个"<"之间，即已经有 1<2了，向中间加入3,会发现变成了1<3>2，等于同时加入了一个">"。
4.如果将i+1加入一个">"中间，即有了2>1，变成了2<3>1，等于同时加入了一个小于号！

综上所述，dp[i][j]等于以上四种情况之和：
dp[i - 1][j]                                     将i加在开头等于加入一个">"，即要求i-1个数时已经有了j个"<"。
dp[i - 1][j - 1]                                将i加在末尾等于加入一个"<"，即要求i-1个数时已经有了j-1个"<"。
dp[i - 1][j] * j                                 将i加在任意一个"<"之间，等于加入了一个">"；即要求i-1个数时已经有了j个小于号，每个"<"都可以进行这样的一次插入。
dp[i - 1][j - 1] * (i- j - 1)                 将i加载任意一个">"之间，等于加入了一个"<"；即要求i-1个数时有了j-1个"<"，而此时共有i-j-1个">"，每个">"都要进行一次这样的操作。
合并同类项即为
 dp[i][j] =dp[i - 1][j]+ dp[i - 1][j - 1]+dp[i - 1][j] * j+ dp[i - 1][j - 1] * (i- j - 1) =(dp[i - 1][j - 1] * (i - j) + dp[i - 1][j] * (j + 1))

另外，定义dp[i][0]=1。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1005][1005];
int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= k; j++)
        {
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] * (i - j) + dp[i - 1][j] * (j + 1)) % 2017;
        }
    }
    cout << dp[n][k] % 2017 << endl;
    return 0;
}