2022丘成桐女子中学生数学竞赛试题

1. 对于级数$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sum\limits_{m=1}^{n}\dfrac{1}{n^{\alpha}m^{\beta}}$, 求$\alpha, \beta$使级数收敛.
2. 给定椭圆$C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, 求$C$的内接六边形面积的最大值.
3. 群$G$满足: $G=\left(a, b\right)$ ($a, b$为生成元), $12a+5b=0$, $24a+16b=0$.
   (1) 求$a$的阶的所有可能值.
   (2) 求群$G$在同构意义下的群结构.
4. 在三维空间$V$中, $5$个两两不同的二维空间两两相交为一维空间, 求交出的一维空间的个数的可能值.
5. (1) 三个整点组成的三角形的面积最小为多少?
   (2) 圆心在原点, 半径为$R$的圆上一段长为$R^{\frac{1}{3}}$的圆弧上三点的面积最大为多少?
   (3) 在(2)中这段圆弧上至多几个整点?
6. $n$阶矩阵的所有元素均为$\pm 1$, 求所有此类矩阵的行列式的平均值.