【待补充】算法导论 笔记
（一）插入排序
时间复杂度：
原址排序，只需要一个key，稳定排序算法
插入排序是随机访问模型（random access machine->RAM）
RAM常见指令：算数指令（加减乘除取余取模）、数据移动指令（装入、存储、复制）、控制指令（条件与无条件转移、子程序调用与返回）
（二）归并排序：
分解（divide）：分解待排序的n个元素的序列成各具n/2个元素的两个子序列
解决（conquer）：使用归并排序递归地排序两个子序列
合并（combine）：合并两个已经排序的子序列 以产生已排序的答案
时间复杂度：
渐进记号（asymptotic）
只有渐进上界用O(n)，表示：所有在cn函数下方的函数集合
（三）分治法
求最大子数组（maximum subarray）
找到2个规模尽量相等的子数组，即找到子数组中点位置即为mid。递归求解A[low..mid] A[mid+1..high]的最大子数组
图(a)表示：最大子数组可能存在的3种位置
（四）求解递归（recurrence）
1、 代入法（substitution）
2、 递归树法
3、 主方法
（五）堆排序：
1、维护最大堆性质，时间复杂度：
2、建堆
3、 堆排序算法 不稳定
（六）优先队列（priority queue）
1、 返回s中具有最大键值的元素
2、 去掉并返回s中的具有最大键字的元素
3、 将元素x的关键字值增加到k，（假设k的值不小于x的原关键字值）
（七）快速排序（分治思想）
1、普通版
原址排序，时间复杂度：
2、随机版
（八）线性时间排序
比较排序——> 在排序的最终结果中，各元素的次序依赖于他们之间的比较。比较排序在最坏的情况下要经过Ω（nlgn）次比较。堆排序和归并排序都是渐进最优的比较排序方法。
1、决策树模型
2、计数排序（counting-sort）
稳定；时间复杂度：
计数排序被用于计数排序的子过程。
3、基数排序（radix sort）
非原址排序；一位数排序算法必须是稳定的；时间复杂度：
4、 桶排序（bucket sort）
（九）动态规划
最优子结构（optimization solution）+重叠子问题（overlapping subproblem）
动态规划的两种等价实现方法：
（1） 带备忘的自顶向下（top-down with memoization）
按递归形式编写，但过程中会保存每个子问题的结（通常列在一个数组或算了吧中）。当需要一个子问题的解时，先减产是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省计算时间；否则按通常方式计算此子问题。
（2） 自底向下（bottom-up method）
将子问题按规模排序，由小到大求解。每个子问题都只用求解一次。
1、 钢条切割
（1） 自顶向下加入备忘
（2） 自底向上
重构解
2、 矩阵链乘
（1） 自底向上表格法
构造最优解
优化核心算法（加入递归）：
（2） 带备忘的自顶向下
3、 无权最短路径：找到一条从u到v边数最少的路径。有最优子结构。
4、 无权最长路径：无最优子结构。
5、 最长公共子序列
计算LCS长度（long-common-subsequence 子序列 & substring子串ß必须连续）
构造LCS
6、 0-1背包
I的值是---装了几个物品
J的值是---现在背包的容量
存的元素---现在的价值
令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0
(2) V(i-1,j) j<wi
V(i,j)=
max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi
（1）式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；
（2）式表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：
(a)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
(b)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;
显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
打印出当前的v数组和被选中物品的x数组。
7、 求最大子段和
B数组记录了以当前元素为结尾时，最大字段的和，用第一个循环完成。
第二个循环，打印B数组。
第三个循环，遍历B数组，找到最大值。
（十）贪心算法
最优子结构+贪心性选择
1、 活动选择问题
2、 部分背包
（1）构造并输出二维数组b数组。第一行：单位重量的价值增序；第二行：对应的重量；第三行：对应的价值。（2）构造并输出x数组贪心性选择是单位重量的价值最大的。（3）根据b和x数组计算最大价值s并输出。
3、 赫夫曼编码
每个步骤合并频率最低的两颗树
（十一）单结点对
1、 bellman-ford
Bellman-ford算法在求解过程中，每次循环每个顶点的dist[]值都有可能要修改，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-ford算法结束才确定下来。
2、 dijkstra（贪心算法）
贪心性选择：选择集合V-S中“最轻”或“最近”的结点来加入集合S中。每次选择结点u来加入到集合S中时，有
Dijkstra在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则不变化了，修改的仅仅是从源点到T集合中个顶点的最短路径长度。
（十二）所有结点对
1、 最短路径和矩阵乘法（动态规划）
自底向上
改进
2、 Floyd-warshall（动态规划）
3、 Johnson（给予稀疏矩阵）
（十三）回溯法
问题状态（problem state）解决问题时，树中的一个节点定义了一个问题状态
状态空间（state space）所有从根到结点的路径（蛮力法）
解状态（solution state）满足显式约束
答案状态（answer state）同时满足隐式约束
状态空间树 E-node（扩展结点）可以继续生成孩子结点的结点
Alive-node（活结点）被DFS，此结点在等待生成结点
Dead-node（死结点）不能生成孩子结点的结点
限界函数bound-function：不生成全部problem state—》杀死一部分活结点
1、8-Queen
2、给定n+1个整型，找子集使和为M （DFS）
3、0-1背包
对一组数据，有两种可能：选或不选，在树种用左右字数表示。
使用递归，在遍历完n个数时，判断最终的数是否比最佳价值大，如比最佳大，则把值付给besrv。
上界函数：当前的价值cw+剩余可容纳的最大价值<=当前最优解
（十四）分支限界
15-Puzzle （BFS）
定理：
是偶数，则可达。
ĉ(X)＝f(X)+ĝ(X)代价估计函数。
f(X) is the length of the path from the root to X
ĝ(X) is the minimum number of movings from X to the target state.
ĝ(X)＝the number of blocks which are not in its target position (except the blank space)
（十五）NP问题,
Computability
Undecidable Problem
Hilbert’s 10th Problem.
Post’s Correspondence Problem.
Halting Problem.
NP-Complete
P, EXP, NP, NP-Complete
SAT is the first NP-Complete problem
Other NP-Complete problems: 3-color, TSP, CIRCUIT-SAT
