P1495 曹冲养猪

CRT----中国剩余定理

题意:给你n个式子$x \equiv b_i (mod\ a_i)$，求x的最小正整数解(CRT裸题）

中国剩余定理求解

考虑每一个式子i$\left\{\begin{aligned}x \equiv 0\ (mod\ a_1) \\ x \equiv 0\ (mod\ a_2) \\  x \equiv 0\ (mod\ a_2)  \\ .\\.\\.\\ x  \equiv 1\ \ (mod\ a_i)  \\.\\.\\.\\  x \equiv 0\ (mod\ a_n)\end{aligned}\right.$　

可以求出每个式子的解$x_i$，则$ans=\sum{x_i*b_i}(mod\ \ \Pi{a_i})$

那么，考虑怎么求解每一个式子i

首先，对于每一个j$x_i \equiv 0\ (mod\ a_j)$

不难得出$x_i\equiv 0\ (mod\ \ \Pi{a_j})$

我们令$N=\Pi{a_j}$

则$x_i\equiv 0\ (mod\ \ \frac{N}{a_i})$

也就是说$x_i=k*\frac{N}{a_i}$

而对于那个特殊的式子i$x_i \equiv 1\ (mod\ a_i)$

可以得出$x_i=p*a_i+1$

因此$x_i=p*a_i+1=k* \frac{N}{a_i}$

$p*a_i+1=k* \frac{N}{a_i}$

$k* \frac{N}{a_i}-p*a_i=1$

有没有get到什么》》？？

显然的exgcd啊

因此，k与p就得到了

反推回去，x也得到了

最后，ans就求出来了

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
#define olinr return
#define _ 0
#define love_nmr 0
#define DB double
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            f=-f;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void put(int x)
{
    if(x<0)
    {
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    if(x>9)
        put(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int n;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x-a/b*y;
    x=y;
    y=t;
}
int bb[20];
int aa[20];
int ans;
int N=1;
inline int work(int pos)
{
    int p,k;
    exgcd(N/aa[pos],aa[pos],p,k);
    int ansx=p*(N/aa[pos]);
    return (ansx*bb[pos])%N;
}
signed main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        aa[i]=read();
        bb[i]=read();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        N*=aa[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        (ans+=work(i))%=N;
    put(ans>0? ans:ans+N);
    olinr ~~(0^_^0)+love_nmr;
}