P3267 [JLOI2016/SHOI2016]侦察守卫

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

小R和B神正在玩一款游戏。这款游戏的地图由N个点和N-1条无向边组成，每条无向边连接两个点，且地图是连通的。换句话说，游戏的地图是一棵有N个节点的树。

游戏中有一种道具叫做侦查守卫，当一名玩家在一个点上放置侦查守卫后，它可以监视这个点以及与这个点的距离在D以内的所有点。这里两个点之间的距离定义为它们在树上的距离，也就是两个点之间唯一的简单路径上所经过边的条数。在一个点上放置侦查守卫需要付出一定的代价，在不同点放置守卫的代价可能不同。

现在小R知道了所有B神可能会出现的位置，请你计算监视所有这些位置的最小代价。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

第一行包含两个正整数N和D，分别表示地图上的点数和侦查守卫的视野范围。约定地图上的点用1到N的整数编号。

第二行N个正整数，第i个正整数表示在编号为i的点放置侦查守卫的代价Wi。保证Wi<=1000。

第三行一个正整数M，表示B神可能出现的点的数量。保证M<=N。

第四行M个正整数，分别表示每个B神可能出现的点的编号，从小到大不重复地给出。

接下来N-1行，每行包含两个正整数U,V，表示在编号为U的点和编号为V的点之间有一条无向边。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

仅一行一个整数，表示监视所有B神可能出现的点所需要的最小代价

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

12 2
8 9 12 6 1 1 5 1 4 8 10 6
10
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
4 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

10

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于所有的数据，N<=500000,D<=20

\(\color{#0066ff}{题解}\)

对于这种在树上覆盖的问题，是一个比较经典的树形DP模型

状态\(f[i][j]\)表示以i为根子树从i向下有j层未覆盖的最小代价，j可以为负数，如果是负数，就是子树全覆盖，并向外覆盖一些层

所以我们再开一个\(g[i][j]\)表示以i为根子树全覆盖，并且向外覆盖了j层的方案数

首先，对于必覆盖点，初始化就是\(f[i][0]=g[i][0]=val[i]\)

注意当\(j\ge 1\)时，f覆盖的范围是不包括当前点的（j层未覆盖），但是g包括了（i向外j全覆盖）

所以\(g[i][j]\)也要初始化一下

考虑转移

对于f，显然有\(f[x][j] = min\{f[x][j-1]\}\)

还有就是子树统计\(f[x][j]+=f[y][j-1]\)

对于g，显然有\(g[x][i]=min\{g[x][i+1]\}\)

还有，就是考虑x的外面由哪个子树覆盖，这个覆盖包括了x子树内部，\(g[y][j]\)覆盖了\(f[x][j]\)未覆盖的j层

\(g[x][j]=min\{f[x][j+1]+g[y][j+1],f[y][j]+g[x][j]\}\)

答案就是\(f[1][0]\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 5e5 + 100;
const int inf = 0x7fffffff;
int f[maxn][25], g[maxn][25], val[maxn];
int n, d, m;
bool vis[maxn];
struct node {
	int to;
	node *nxt;
	node(int to = 0, node *nxt = NULL): to(to), nxt(nxt) {}
};
node *head[maxn];
void add(int from, int to) { head[from] = new node(to, head[from]); }
void dfs(int x, int fa) {
	if(vis[x]) f[x][0] = g[x][0] = val[x];
	for(int i = 1; i <= d; i++) g[x][i] = val[x];
	g[x][d + 1] = inf;
	for(node *i = head[x]; i; i = i->nxt) {
		if(i->to == fa) continue;
		dfs(i->to, x);
		for(int j = 0; j <= d; j++) g[x][j] = std::min(g[x][j] + f[i->to][j], g[i->to][j + 1] + f[x][j + 1]);
		for(int j = d - 1; j >= 0; j--) g[x][j] = std::min(g[x][j], g[x][j + 1]);
		f[x][0] = g[x][0];
		for(int j = 1; j <= d; j++) f[x][j] += f[i->to][j - 1];
		for(int j = 1; j <= d; j++) f[x][j] = std::min(f[x][j], f[x][j - 1]);
	}
}

int main() {
	n = in(), d = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++) val[i] = in();
	m = in();
	for(int i = 1; i <= m; i++) vis[in()] = true;
	int x, y;
	for(int i = 1; i < n; i++) x = in(), y = in(), add(x, y), add(y, x);
	dfs(1, 0);
	printf("%d\n", f[1][0]);
	return 0;
}