P2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)

约翰准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地，他只需要支付5 × 5 = 25元， 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

Line 1: A single integer: N

Lines 2..N+1: Line i+1 describes plot i with two space-separated integers: \(width_i\) and \(length_i\)

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

Line 1: The minimum amount necessary to buy all the plots.

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

4 
100 1 
15 15 
20 5 
1 100 

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

500 

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

none

\(\color{#0066ff}{题解}\)

首先可以发现，对于两个矩形， 如果一个可以完全包含另一个，完全可以让这两个一组，这样那个小的矩形就没贡献了，可以删掉

按长为第一关键字，宽为第二关键字从小到大排序

倒着扫一遍，维护max宽，如果当前矩形的宽小于max宽，又因为排序一定小于长

所以当前矩形就没用了，否则放入一个新的数组里

翻转一下可以发现

这个数组的矩形，长递增，宽递减

最优的分组一定是几个连续的区间

可以发现一个区间的价值是l的长和r的宽

如果不连续，那么价值要比这个大

所以就可以DP了

\(f[i] = f[j-1]+i_a*j_b\)

把\(i_a\)作为斜率移到左边，因为是负的，而且还要维护最小值，斜率应为正的

可以直接取正的维护最大值然最后取反就行了

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; int x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
const int maxn = 50505;
using std::pair;
using std::make_pair;
pair<LL, LL> mp[maxn], a[maxn];
int cnt;
LL f[maxn];
LL X(int x) { return a[x + 1].second; }
LL Y(int x) { return f[x]; }
double K(int x, int y) { return (double)(Y(x) - Y(y)) / (double)(X(x) - X(y)); }
int main() {
	int n = in();
	for(int i = 1; i <= n; i++) mp[i].first = in(), mp[i].second = in();
	std::sort(mp + 1, mp + n + 1);
	LL max = 0;
	for(int i = n; i >= 1; i--) {
		if(mp[i].second > max) a[++cnt] = mp[i];
		max = std::max(max, mp[i].second);
	}
	std::reverse(a + 1, a + cnt + 1);
	static int q[maxn], head, tail;
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
		LL k = a[i].first;
		while(head < tail && k > K(q[head], q[head + 1])) head++;
		f[i] = f[q[head]] - a[i].first * a[q[head] + 1].second;
		while(head < tail && K(q[tail], q[tail - 1]) > K(i, q[tail - 1])) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	printf("%lld\n", -f[cnt]);
	return 0;
}