回溯算法总结
1、初步印象
回溯,就是遍历每个状态(或者说树节点),与递归密切相关,所以回溯法也经常和二叉树遍历,深度优先搜索混在一起,因为这两种方式都是用了递归。
回溯法就是暴力搜索,并不是什么高效的算法,最多再剪枝一下。
2、可以解决的问题
- 组合问题:N个数里面按一定规则找出k个数的集合
- 排列问题:N个数按一定规则全排列,有几种排列方式
- 切割问题:一个字符串按一定规则有几种切割方式
- 子集问题:一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
- 棋盘问题:N皇后,解数独等等
3、思路模板
1 void backtracking(参数) { 2 if (终止条件) { 3 存放结果; 4 return; 5 } 6 7 for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) { 8 处理节点; 9 backtracking(路径,选择列表); // 递归 10 回溯,撤销处理结果 11 } 12 }
4、详细题型
4.1 组合问题
其搜索的过程大致为:for循环横向遍历,递归纵向遍历,回溯再视情况的剪枝不断调整结果集。
剪枝精髓是:for循环在寻找起点的时候要有一个范围,如果这个起点到集合终止之间的元素已经不够题目要求的k个元素了,就没有必要搜索了。
对于无重复下的组合求总和类问题,可能还需要startIndex来控制for循环的起始位置。
对于重复下的组合求总和类问题,即集合元素会有重复,但要求解集不能包含重复的组合。难题在于去掉重复,一般使用used布尔数组或者通过判断 nums[i] == nums[i-1]的方式 去重。
还有就是多个集合求组合,像:电话号码的字母组合等等,大致思路一致
(1)77. 组合 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
(2)216. 组合总和 III - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
(3)17. 电话号码的字母组合 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
(4)39. 组合总和 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
(5)40. 组合总和 II - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
组合问题性能分析:
- 时间复杂度:O(2^n),每一个元素的状态无外乎取与不取,所以时间复杂度为O(2^n)
- 空间复杂度:O(n),递归深度为n,所以系统栈所用空间为O(n),每一层递归所用的空间都是常数级别,注意代码里的result和path都是全局变量,就算是放在参数里,传的也是引用,并不会新申请内存空间,最终空间复杂度为O(n)
4.2、分割问题
一些难点:
- 切割问题其实类似组合问题
- 如何模拟那些切割线
- 切割问题中递归如何终止
- 在递归循环中如何截取子串
- 如何判断回文
如果想到了用求解组合问题的思路来解决 切割问题就成功一大半了,接下来就可以对着模板照葫芦画瓢。
131. 分割回文串 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
93. 复原 IP 地址 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
4.3、子集问题
子集问题是要收集所有节点的结果,而组合问题是收集叶子节点的结果。
一般不需要加终止条件,因为startIndex >= nums.size(),本层for循环本来也结束了,本来我们就要遍历整颗树。不过,需要注意的是,每次递归的下一层就是从i+1开始的。
对于有重复元素的,依然有 去重的需要。
子集一般需要先排序,再进行去重处理,可以采用set的方式 去重。
78. 子集 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
90. 子集 II - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
491. 递增子序列 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
子集问题性能分析:
- 时间复杂度:O(2^n),因为每一个元素的状态无外乎取与不取,所以时间复杂度为O(2^n)
- 空间复杂度:O(n),递归深度为n,所以系统栈所用空间为O(n),每一层递归所用的空间都是常数级别,注意代码里的result和path都是全局变量,就算是放在参数里,传的也是引用,并不会新申请内存空间,最终空间复杂度为O(n)
4.4、排列问题
排列是有序的,也就是说[1,2] 和[2,1] 是两个集合,这和之前分析的子集以及组合所不同的地方。
可以看出元素1在[1,2]中已经使用过了,但是在[2,1]中还要在使用一次1,所以处理排列问题就不用使用startIndex了。
排列问题的一些注意事项:
- 每层都是从0开始搜索而不是startIndex
- 需要used数组记录path里都放了哪些元素了
去重一般使用used布尔数组
46. 全排列 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
47. 全排列 II - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
排列问题分析:
- 时间复杂度:O(n!),这个可以从排列的树形图中很明显发现,每一层节点为n,第二层每一个分支都延伸了n-1个分支,再往下又是n-2个分支,所以一直到叶子节点一共就是 n * n-1 * n-2 * ..... 1 = n!。
- 空间复杂度:O(n),和子集问题同理。
4.5、棋盘问题
棋盘的宽度就是for循环的长度,递归的深度就是棋盘的高度,其他套模板思路差不多
需要完全遍历,需要判断是否符合条件
51. N 皇后 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
200. 岛屿数量 - DidUStudy - 博客园 (cnblogs.com)
N皇后问题性能分析:
- 时间复杂度:O(n!) ,其实如果看树形图的话,直觉上是O(n^n),但皇后之间不能见面所以在搜索的过程中是有剪枝的,最差也就是O(n!),n!表示n * (n-1) * .... * 1。
- 空间复杂度:O(n),和子集问题同理。
参考
carl & 吴师兄