2023/6/10 学习笔记

欧拉图

欧拉图的定义

欧拉回路:所有的边都经历一次不重复的回路

欧拉通路:所有的边都经历一次不重复的路径

欧拉图:具有欧拉回路的图

半欧拉图:具有欧拉通路的图

 连通图只有0个或者偶数个奇数出度点

判别方法：

1.无向图欧拉回路:

(1)除去度为0的点外，其他的点相互连通

(2)顶点度数都是偶数

2.无向图欧拉通路:

(1)除去度为0的点外，其他的点相互连通

(1)具有0个或者偶数个奇数度顶点

3.有向图欧拉回路:

(1)非零度顶点是强连通图

(2)每个顶点的入度和出度数相同

4.有向图欧拉通路

(1)非零度顶点是弱连通图

(2)至多一个顶点的出度与入度之差为 1

(3)至多一个顶点的入度与出度之差为 1

(3)其他顶点的入度和出度相等

例题洛谷p1636

https://www.luogu.com.cn/problem/P1636

根据上面的无向图欧拉通路和连通图具有偶数个奇数度点，我们可以知道，两个奇数度点之间有一条欧拉通路，所以我们可以数奇数度点的个数，然后除以2就是我们要求的欧拉通路个数也即本题要求的笔画个数。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

//code<br><br>#include<iostream> #define maxm 100005 using namespace std;   int vis[maxm];   int main(){     std::cin.tie(0);     std::ios::sync_with_stdio(false);     int n,m,ant=0;     cin>>n>>m;     for(int i=0;i<m;i++){         int u,v;         cin>>u>>v;         vis[u]++;         vis[v]++;     }     for(int i=1;i<=n;i++){         if(vis[i]%2!=0){             ant++;         }     }     if(ant==0){         printf("1\n");     }     else{         printf("%d\n",ant/2);     }     return 0; }