AGC014

D Black and White Tree

先手选一个叶子节点的父亲染成白色，后手必须选这个叶子，然后模拟即可。

E Blue and Red Tree

如果合法，每一步一定存在一个只被一条红路径覆盖的蓝边，每次去掉这条边即可。

F Strange Sorting

容易发现 \(1\) 不会影响 \([2,n]\) 的排序。

考虑从 \([i,n]\) 的答案推出 \([i-1,n]\)。（后面假设是 \([2,n]\) 推出 \([1,n]\)）

设 \(T(i)\) 表示 \([i,n]\) 需要的步数。

如果 \(T(2)=0\)，如果 \(1\) 就在最开头 \(T(1)=0\)，否则 \(T(1)=1\)。

如果 \(T(2)>0\)，还是考虑 \(1\) 的位置，如果 \(1\) 在 \(T\) 步以后移动到了开头，则 \(T(1)=T(2)\)，否则 \(T(1)=T(2)+1\)。

考虑 \(T-1\) 步以后，第一个位置一定不是 \(2\)，否则第 \(T\) 步 \(2\) 就会移动到后面去。

设第一个位置是 \(x\)，如果位置关系为 \((x,1,2)\)，第 \(T\) 步以后 \(1\) 就在开头。

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考虑一个性质：

\((x,1,2)\) 这 \(3\) 个元素的相对循环位置不会改变，即如果一开始是 \((x,1,2)\) 则不管怎么操作，相对位置一定是 \((x,1,2)\) 或 \((1,2,x)\) 或 \((2,x,1)\)

证明要用到另一个性质：

只考虑 \([2,n]\) 的数，\(x\) 除了出现在第一个位置时，不会作为被移动的元素

如果作为被移动的元素则和他一起移动的，他前面那个元素就和他绑定在一起了。

然后证明上述性质：

• 第一个是 \(x\)，\(1,2\) 都不会移动，\((x,1,2)\to(1,2,x)\)
• 第一个是 \(2\)，\(1,x\) 都不会移动，\((2,1,x)\to(1,x,2)\)
• 第一个是 \(1\)
  • 第二个是 \(2\)，\((1,2,x)\to(x,1,2)\)
  • 第二个是 \(x\)，\((1,x,2)\to(2,1,x)\)
  • 其他情况，\((1,x,2)\to(x,2,1)\)
• 其他情况，\(1,2,x\) 都不会移动

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有了这个性质以后，因为要求第 \(T-1\) 步以后相对关系为 \((x,1,2)\)，所以只需要看初始序列 \(x,1,2\) 的相对关系就好了。

从 \(T(n)\) 倒着递推，同时维护 \(x\) 变量。