Berlekamp-Massey

\(BM\)算法(\(Berlekamp-Massey\))

给定一个长度为\(n\)的序列，在\(O(n^2)\)的时间内求出序列的最短递推式（前提是要能通过这\(n\)项求出至少一个递推式）

\(\forall i>m,a_i=\sum_{j=1}^mf_ja_{i-j}\)

考虑增量法，设当前递推式为\(f_{cnt}\)，check到了\(a_i\)

设\(dlt_i=a_i-\sum_{j=1}^{m_{cnt}}f_{cnt,j}a_{i-j}\)

• \(dlt_i=0\)，说明\(f_{cnt}\)合法
• 否则考虑在\(f_{cnt}\)的基础上，加一些东西，构造出一个新的\(f\)

设\(fail_i\)表示第\(i\)个递推式失效的位置，对于之前求出的一个递推式\(f_{prv}\)有（设\(x=fail_{prv}\)）：

\(dlt_{x}=a_x-\sum_{j=1}^{m_{prv}}f_{prv,j}a_{x-j}\)

把下标代换一下可得到（设\(i-x=k\)）

\(dlt_x=a_{i-k}-\sum_{j=1}^{m_{prv}}f_{prv,j}a_{i-k-j}\)

于是可以求出一个\(f'\)使得\(\sum_{j=1}^{m'}f'_ja_{i-j}=dlt_x\)

但是我们想加上的东西是\(dlt_i\)，所以系数乘一下就行

于是就构造出来\(f_{cnt+1}=f_{cnt}+\frac{dlt_i}{dlt_x}f'\)

对应一下下标关系就是加上一个\((0\cdots0,k,-kf_{prv,1},-kf_{prv,2}\cdots)\)，前面是\(i-fail_{prv}-1\)个\(0\)

想求出最短的递推式，就取\(i-fail_{prv}+len(prv)\)最小的就行了

for(register int i=1; i<=n; i++){
        // for(register int j=0; j<dp[cnt].size(); j++) printf("%d ",dp[cnt][j]);puts("");
        if(!cnt){
            if(a[i]){
                dlt[i] = a[i];
                fail[cnt++] = i;
                dp[cnt].resize(i,0);
            }
            continue;
        }
        int &sum = dlt[i], num = dp[cnt].size();
        sum = a[i]; fail[cnt] = i;
        for(register int j=0; j<num; j++) sum = dec(sum,1ll*a[i-j-1]*dp[cnt][j]%MOD);
        if(!sum) continue;
        int prv = cnt-1, mnlen = i-fail[prv]+(int)dp[prv].size();
        for(register int j=0; j<cnt; j++)
            if(i-fail[j]+(int)dp[j].size()<mnlen)
                mnlen = i-fail[j]+(int)dp[j].size(), prv = j;
        int k = 1ll*dlt[i]*ksm(dlt[fail[prv]])%MOD;
        dp[cnt+1] = dp[cnt]; cnt++;
        while(dp[cnt].size()<mnlen) dp[cnt].push_back(0);
        iinc(dp[cnt][i-fail[prv]-1],k);
        num = dp[prv].size();
        for(register int j=0; j<num; j++) ddec(dp[cnt][i-fail[prv]+j],1ll*k*dp[prv][j]%MOD);
    }