SAM

后缀自动机(SAM)

节点意义：记录一组\(r\)相同的长度连续的子串\(s[l:r]\)，\(len(x)\)表示最长的一个

\(son\)指针意义：在x记录的每一个子串后面都加上\(c\)后可以得到son(x,c)中的一个连续段（本质上是一个映射关系）

son指针仅仅是单向映射关系，因此可能会有多个y指向同一个x，比如x={cd,bcd,abcd}，y1={c}，y2={bc,abc}，那么son(y1,d)和son(y2,d)都指向x，其中y1对应着{cd}，而y2对应着{bcd,abcd}

\(fa\)指针意义：\(fa(x)\)记录的子串均是\(x\)记录的子串的后缀且是\(len\)最大的一个

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构建：

• 以\(prv\)为基础

  • 若\(prv\)没有这个儿子，son(prv)=x,prv=fa(prv)

• 若\(prv\)跳到根了，则令\(fa\)=根

• 否则令\(p\)为\(son(prv,c)\)

  • 若\(len(p)=len(prv)+1\),fa(x)=p
  • 否则新建一个\(newp\)为\(p\)的复制(fa和son信息相同)，并将连向\(p\)的节点改成连向newp，并令\(len(newp)=len(prv)+1\)，然后fa(x)=fa(p)=newp

构建过程中唯一难理解的问题在于为什么要复制一个p，主要原因是\(son\)指针的单向对应关系

举个例子，prv={ab,aab}，p={abc,aabc,eaabc,eeaabc}，x={abc,aabc,daabc}，直接连fa不好处理

这个时候prv对应到p中为{abc,aabc}，对应到x中为{abc,aabc}，发现这两个集合是一样的，所以直接提出来（即newp），得到4个集合

prv={ab,aab}，newp={abc,aabc}，p={eaabc,eeaabc}，x={daabc}

然后son和fa指针就可以很方便地处理了

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应用扩展

广义SAM：多个字符串的SAM，有离线(trie+bfs)和在线两种做法（蒟蒻知道的最好写的在线做法就是每次插入一个新的串时把prv改成1，然后加点特判避免空节点）

利用parent树将匹配/公共串一类的字符串问题转化成更直观的树上问题

利用lct的Access操作和爬parent树的相似性，去维护到根链的相关信息（区间本质不同子串个数）