P6965 [NEERC2016]Binary Code
tag:2-SAT，trie优化建图
注意到每个串只有一个 ? (只有 \(2\) 种状态)，所求的是构造方案，所以考虑使用 2-SAT。
于是进一步想到如果 \(x_0,y_0\) 一个是另一个的前缀，就 \(x_0\to y_1,y_0\to x_1\)。
那么容易想到暴力 \(n^2\) 建图，下一步显然就是减少边数。
考虑使用 trie，那么对于一个状态 \(x_0\) ，设 trie 上对应点为 \(cur\)，则：
- \(x_0\) 连向 \(cur\) 的祖先节点的另一个状态(比如说 \(cur\) 的祖先中有一个 \(y_1\)，则连向 \(y_0\) )
可以复制一遍 trie，trie 树上儿子连父亲，然后 \(x_0\to fa(cur),cur\to x_1\) (这样可以避免连自己)，增加 \(m\) 个点(\(m\) 为 trie 的节点个数)， \(m+2n\) 条边。
inline void build1(){
for(register int i=1; i<=trie_cnt; i++) if(fa(i)) Add_Edge(i+node_cnt,fa(i)+node_cnt);
for(register int i=1, x; i<=n; i++){
x = loc[0][i]; if(x) Add_Edge(x+node_cnt,Y(i)); if(fa(x)) Add_Edge(N(i),fa(x)+node_cnt);
x = loc[1][i]; if(x) Add_Edge(x+node_cnt,N(i)); if(fa(x)) Add_Edge(Y(i),fa(x)+node_cnt);
}
node_cnt += trie_cnt;
}
- \(x_0\) 连向 \(cur\) 的儿子节点的另一个状态(同上)
还是复制一遍 trie，父亲连儿子，然后 \(x_0\to cur, fa(cur)\to x_1\) ，增加 \(m\) 个点， \(m+2n\) 条边。
inline void build2(){
for(register int i=1; i<=trie_cnt; i++) if(fa(i)) Add_Edge(fa(i)+node_cnt,i+node_cnt);
for(register int i=1, x; i<=n; i++){
x = loc[0][i]; if(x) Add_Edge(N(i),x+node_cnt); if(fa(x)) Add_Edge(fa(x)+node_cnt,Y(i));
x = loc[1][i]; if(x) Add_Edge(Y(i),x+node_cnt); if(fa(x)) Add_Edge(fa(x)+node_cnt,N(i));
}
node_cnt += trie_cnt;
}
- \(x_0\) 连向 \(cur\) 对应的其他状态的另一个状态
设点 \(cur\) 对应的状态为 \(a_1,a_2\cdots\)，那么我们要做的就是把 \(a_i\) 和 \(a_j'\) ( \(a_j\) 的对应状态)两两连边，这是一个经典的前缀优化建图模型，增加 \(2n\) 个点， \(12n\) 条边。
inline void build3(){
static int tmp[MAXN], num;
for(register int i=1; i<=trie_cnt; i++){
num = vec[i].size();
if(num>=2){
for(register int j=1; j<=num; j++)
tmp[j] = vec[i][j-1],
Add_Edge(tmp[j],j+node_cnt),
Add_Edge(j+num+node_cnt,tmp[j]^1);
for(register int j=1; j<num; j++)
Add_Edge(j+node_cnt,j+1+node_cnt),
Add_Edge(j+node_cnt,tmp[j+1]^1),
Add_Edge(tmp[j+1],j+num+node_cnt),
Add_Edge(j+1+num+node_cnt,j+num+node_cnt);
node_cnt += num*2;
}
}
}
然后走一般 2-SAT 流程就行了，输出方案看哪个状态的 \(belong\) 小，就选哪个状态。
一点小细节
仔细看题，最多一个"?"，意思是会有没有 ? 的字符串(样例2)，这种情况可以假设任意一位为 ? ，然后强制这一位选 \(0/1\) 。(即 \(x_0\to x_1\) 或者 \(x_1\to x_0\) )
