[Gym 102978D] Do Use FFT
tag:分治fft，多项式求逆，转置原理
题意
对每个\(k\in[1,n]\)，求出
\[\sum_{i=1}^n(c_i\cdot\Pi_{j=1}^k(a_i+b_j))
\]
题解
设\(F_i(x)=\Pi_{j=1}^i(x+b_j)\)
转化为矩阵形式（式子是从jly的博客贺的）
\[\begin{bmatrix}
[x^0]F_1(x)&[x^1]F_1(x)&\cdots&[x^n]F_1(x)\\
[x^0]F_2(x)&[x^1]F_2(x)&\cdots&[x^n]F_2(x)\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
[x^0]F_n(x)&[x^1]F_n(x)&\cdots&[x^n]F_n(x)\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_1^0&a_2^0&\cdots&a_n^0\\
a_1^1&a_2^1&\cdots&a_n^1\\
\vdots&\vdots&\ddots\vdots\\
a_1^n&a_2^n&\cdots&a_n^n\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
c_1\\
c_2\\
\vdots\\
c_n
\end{bmatrix}
\]
先算右边两个，设结果为\(f\)
\[f_i=\sum_{j=1}^na_j^ic_j
\]
也就是多项式\(\sum_{i=1}^n\frac{C_i}{1-a_ix}\)的\([0,n]\)项，用一次分治fft解决
然后下一步要用到转置原理，考虑转置后求的是什么
\(ans_i=\sum_{j=1}^n[x_i]F_j(x)f_j\)
也就是多项式\(\sum_{i=1}^nf_iF_i(x)\)的\([0,n]\)项，用分治fft解决
设\(F_{i,j}=\Pi_{k=i}^j(x+b_k)\)，\(A_{l,r}=\sum_{i=l}^rf_iF_{l,i}(x)\)，\(B_{l,r}=F_{l,r}\)
-
叶节点为\(f_i\times(x+b_i)\)
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递归\((l,mid),(mid+1,r)\)
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\(A_{l,r}=A_{l,mid}+A_{mid+1,r}\times B_{l,r}\)，\(B_{l,r}=B_{l,mid}\times B_{mid+1,r}\)
最后答案多项式为\(ans\)
那么转置后，由于\(B\)与\(f\)无关，所以是不变的
初始化\(A_{1,n}=f\)
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\(A_{l,mid}=A_{l,r}\)，\(A_{mid+1,r}=A_{l,r}\times^TB_{l,mid}\)
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递归\((l,mid),(mid+1,r)\)
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叶节点求出\(ans_i=A_{i,i}\times^T(x+b_i)\)，也就是\(ans_i=[x^0]A_{i,i}+b_i\cdot[x^1]A_{i,i}\)
放上又调了一个上午的代码
