[NEERC2016]Cactus Construction
tag:构造
一道很有意思的构造题
首先考虑树怎么做：
- 叶子节点把颜色改为 \(2\)。
- 非叶子节点把颜色改为 \(3\)。然后先处理完所有儿子，再将所有儿子集合与当前点合起来。然后连 \(2,3\)，即把所有儿子和当前点连起来。再改 \(2\) 为 \(1\)，改 \(3\) 为 \(2\)。
可以发现每个节点处理完后，都满足：
- 当前点颜色为 \(2\)
- 子树内所有其他点颜色为 \(1\)
- 子树内所有边都已经连好了
所以如果是树的话，只需要 \(3\) 种颜色就够了
推广到仙人掌上，建出圆方树，对于圆点的操作和树一样，考虑方点(环)怎么处理。
设当前方点 \(x\)，父亲为 \(y\)。那么找到 \(x\) 对应的环，顺次处理这个环。沿用之前的思路，我们保证每一个点处理完后颜色都为 \(2\)，且集合内其他点颜色都为 \(1\)。于是我们依次合并两个相邻的儿子，设为 \(a,b\)。
- \(r\ a\ 2\ 3\)
- \(j\ a\ b\)
- \(c\ a\ 2\ 3\)
- \(r\ a\ 3\ 1\)
这样操作后，就连了一条 \((a,b)\) 的边，而且让 \(a\) 的颜色改为了 \(1\)。
但是问题来了，到了最后一步我们需要把这条链的头尾连起来，怎么办呢？
这个时候就用上第 \(4\) 种颜色了，对于第一个处理的节点，合并后我们不把它的颜色改为 \(1\)，而是改为 \(4\)。这样的话是不会影响连这条链的过程的，而且最后做一次连 \(2,4\) 操作就可以把头尾连起来，然后再做一次改 \(4\) 为 \(1\) 保证性质。
关于操作次数，此题 \(10^6=20n\)，也就是说一个点能够进行 \(20\) 次操作，显然我们的操作数远达不到这个上限。
上述就是大体思路，不过这题细节十分多。
细节1
在连链的时候，要分三类：
- 第一个点
- \(r\ x\ 2\ 4\)
- 第二个点
- \(j\ x\ prv\)
- \(c\ x\ 2\ 4\)
- 其他点
- \(r\ prv\ 2\ 3\)
- \(j\ x\ prv\)
- \(c\ x\ 2\ 3\)
- \(r\ x\ 3\ 1\)
细节2
在具体实现方点的时候，假设方点 \(x\)，父亲 \(y\)。那么可以把这个环除了 \(y\) 之外的点先连成一条链。根据构建过程，这根链满足头为 \(4\)，尾为 \(2\)，其余点为 \(1\)。所以可以做：
- \(r\ \text{链}\ 2\ 4\)
- \(j\ \text{链}\ y\)
- \(c\ y\ 2\ 4\)
- \(r\ y\ 4\ 1\)
这样就一下连了两条边。(如果当前 \(y\) 的颜色为 \(1\)，则还需要一次操作把 \(y\) 的颜色改为 \(2\))
细节3
由于在实现方点的时候，我们会修改 \(y\) 的颜色。所以在处理圆点 \(x\) 的时候，如果有至少一个儿子是方点，就不执行改颜色的操作！ 因为这样会把 \(y\) 集合中其他 \(1\) 改为 \(2\)(WA on 34)。当然也要特判没有方儿子的时候，做一次改颜色 \(1\) 为 \(2\) 的操作。
