21.4.2 t3

tag:组合计数，生成函数

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\(p\) 为一个长度为 \(n\) 的序列，\(p_i\) 在 \([1,K]\) 中随机，设 \(a_i\) 为 \(i\) 出现的次数，求 \(E(a_1^F\cdot a_2^F\cdots a_L^F)\)。

\(n,K\leq10^9,\ F\leq10^3,\ L\cdot F\leq 5\cdot10^4,\ mod=2003\)

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先考虑 \(F=1\) 时。设 \(x_{i,j}=[p_i=j]\)，则：

\[a_i=\sum_{j=1}^nx_{i,j} \]

\[E=E(\Pi_{i=1}^L(x_{i,1}+x_{i,2}+\cdots+x_{i,n})) \]

考虑它的意义，对于每个值 \(i\)，选一个位置 \(j\)，且所有值所选的位置不能相同，一个方案的权值为 \((\frac{1}{K})^L\)。所以

\[ans=(\frac 1K)^L\binom nLL! \]

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拓展到一般情况，设\(f(i)=(x_{i,1,1}+x_{i,1,2}+\cdots+x_{i,1,n})(x_{i,2,1}+x_{i,2,2}+\cdots+x_{i,2,n})\cdots(x_{i,F,1}+x_{i,F,2}+\cdots+x_{i,F,n})\)

\[E=\Pi_{i=1}^L f(i) \]

那这个式子的意义是什么呢？原来是给每个值选 \(1\) 个位置，而现在就是给每个值选 \(F\) 个位置。对于一个值来说，选取的位置可以重复，而两个不同的值所选取的位置必须两两不同，且一个方案的权值为 \((\frac1K)^t\)，\(t\) 为一共选择的不同的位置数。

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先考虑只选择一个值，设 \(f_{i,j}\) 为选了 \(i\) 个位置，其中有 \(j\) 个不同的位置。则有：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}\cdot j \]

即当前可以新选一个位置，或者选择选过的 \(j\) 种位置中的一个。那么对于一个权值来说，选出 \(x\) 个不同的位置的方案为 \(f_{F,x}\)。

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扩展到选择 \(L\) 个值。容易发现 \(f_{i,j}\) 与当前考虑哪个值无关，所以可以用生成函数。

设 \(f(x)=\sum f_{F,x}x^i\)，那么答案的生成函数就是 \(f^n(x)\)。然后还要乘上分配位置的方案数 \(\binom ntt!\)。所以答案为：

\[ans=\sum_{t=1}^{L*F}\binom ntt!(\frac 1K)^t[x^t]f^n(x) \]

注意到其中有一个系数为 \(t!\)，而 \(t\geq2003\) 时，\(t!\equiv 0\ (mod\ 2003)\)。所以实际上只需要保留 \(f^n(x)\) 的前 \(2003\) 项，可以不用 FFT。

复杂度 \(O(F^2+mod^2logn)\)