21.3.13 t3

tag:组合计数，点分治，容斥

题意

给一棵树，对每个点分配一个权值（可以为 \(0\)），所有点权值和为 \(m\)。求所有分配方案的带权重心标号和（多个重心取标号最小的一个）。

\(n\leq2\cdot10^5,\ m\leq5\cdot10^6\)

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当 \(m\) 为奇数时，对于一条边来说，重心在哪一端是确定的，因为两边的权值和不可能相同。所以先考虑 \(m\) 为奇数的情况。考虑求出重心在 \(x\) 子树内的方案数，然后容斥一下可以求出重心刚好在 \(x\) 的方案数。

考虑枚举分配给子树的权值和，然后两边都变成了一个，球相同，盒子不同可以为空的放球问题。（设 \(p=\frac m2+1\)）

\[f(x)=\sum_{i=p}^m\binom {i+sz-1}{sz-1}\binom{(m-i)+(n-sz)-1}{(n-sz)-1} \]

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暴力计算显然不行，考虑它的实际意义：左边有 \(sz\) 个盒子，右边有 \(n-sz\) 个盒子，放 \(m\) 个相同的球，且左边不能放超过 \(\frac m2\) 个球。好像可做了一点，考虑从 \(sz\) 推到 \(sz+1\)，发现多出来的情况即为第 \(\frac m2\) 个球刚好放在第 \(sz+1\) 个盒子里的方案。那么 \([1,\frac m2-1]\) 这些球往 \(sz+1\) 个盒子里随便放，然后 \([\frac m2+1,m]\) 这些球往 \(n-sz\) 个盒子里随便放，是两个组合数相乘。所以预处理复杂度变为 \(O(n+m)\)。

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考虑 \(n\) 为偶数会有什么问题。对于这种情况：一条 \(s\) 到 \(t\) 的链，链的两端子树和分别为 \(\frac m2\)，其余点全部为 \(0\)。那么此时这一条链上的点都可以为重心，所以贡献为 \(min\)。但我们在假定 \(m\) 为奇数时，把这条链的贡献算成了 方案数\(\cdot \sum val\)，所以对于每条路径，要减去 方案数\(\cdot \sum val\)，再加上 方案数\(\cdot\ min\)。这很显然是一个点分治解决。在处理 \(min\) 的时候，可以使用桶排，每次分治的时候把值域用一个vector传进去，减少了一个快排的 \(log\)。