[AGC015F] Kenus the Ancient Greek
tag:数论，构造
题意
给定 \(X,Y\)，设 \(g(x,y)\) 为 对 \(x,y\) 用辗转相除法求gcd需要的步数。求 \(gcd(x,y),\ x\le X,\ y\le Y\) 的最大值，和能取到最大值的 \((x,y)\) 的对数。
\(Q\le300000,\ X,Y\le10^{18},\ mod=10^9+7\)
题解
最大值很好求，考虑倒推，就是让每一步的两个数尽量小，所以让“辗转相除法”变为“辗转相减”就行了。\((0,1)\to(1,2)\to(2,3)\to(3,5)\)，发现这个就是斐波那契数列，所以找到最大的 \(i,\ fib(i)\le X, fib(i+1)\le Y\) 就行了。
考虑求对数。由于 \(g(a,b)=g(a,b+ka)\)，所以不用考虑完所有情况，只需要考虑 \(g(a,b)=ans,\ a<b<2a\)，然后可以直接用除法计算出贡献。
接下来考虑如何找出这些 \((a,b)\)。
把倒推过程画出来。
对于 \(ans=3\) 的情况，只有 \((2,3)(3,4)\)，倒推路径分别为：
对于 \(ans=4\) 的情况，首先可以在 \(ans=3\) 的基础上往后扩展为 \(0\to1\to2\to3\to5\) 和 \(0\to1\to3\to4\to7\)。其次，我们还可以把第一条路径的 “\(3\)” 改大一点点，形成一条新的倒推路径：
但是只能延伸出一条新的路径，因为把 “\(3\)” 改为 “\(7\)” 后，
此时答案就为 \(5\) 了。（\(0\to1\to2\to3\to5\to8\)）
所以推出 \(ans=4\) 时有 \((3,5)(4,7)(5,7)\)。
那么这个规律能否拓展到一般情况呢？考虑从 \(ans=k\) 推出 \(ans=k+1\)。
首先对于每对 \(ans=k\) 的 \((a,b)\)，显然可以推出一对 \(ans=k+1\) 的 \((b,a+b)\)。
然后类似于上面，考虑将第一条路径的结尾改大一点点，延伸出一条分支。比如 \(ans=k\) 时，第一条路径最后部分为:
那么把 \(b\) 改为 \(a+b\)，可以延伸出一条
这条路径显然是合理的，因为 \(2a+b<a+2b\)。\(a+2b\) 指的是第一条路径的下一个元素。也就是说这条路径的加入，不会导致第一条路径变长，即不会让 \(ans\) 变大。
同样的类似于上面，无法延伸出第二条路径
由于第一条路径就是斐波那契数列，所以有 \(b<2a\)，所以 \(3a+b>a+2b\)。也就是说如果这条路径加入了，那么第一条路径还可以加入一个元素，即 \(ans=k+2\)。
而对于其他路径，就更不可能延伸出新的路径了（证明类似）。
所以 \(ans=k\) 时相对于 \(ans=k-1\) 时，只会多出一对 \((fib(k+1),fib(k+1)+fib(k-1))\)
所以得到构造方法：
- \(ans=1\)，有 \((1,2)\)
- \(ans=k\) 时对于每个 \((a,b)\)，都对应 \(ans=k+1\) 时的一个 \((b,a+b)\)
- 同时 \(ans=k\) 还会多出一对 \((fib(k+1),\ fib(k+1)+fib(k-1))\)
fib[0] = fib[1] = 1;
for(register int i=2; fib[i-1]<=1e18; i++) fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
ans[1][1] = pii(1,2);
for(register int i=2; fib[i]<=1e18; i++){
for(register int j=1; j<i; j++)
ans[i][j] = pii(ans[i-1][j].second,ans[i-1][j].first+ans[i-1][j].second);
ans[i][i] = pii(fib[i+1],fib[i+1]+fib[i-1]);
}
然后求解对数就枚举每一对元素直接计算即可。
while(ans[res+1][1].first<=x and ans[res+1][1].second<=y) res++;
for(register int i=1; i<=res; i++){
if(ans[res][i].first<=x and ans[res][i].second<=y) sum += (y-ans[res][i].second)/ans[res][i].first+1;
if(ans[res][i].second<=x) sum += (x-ans[res][i].second)/ans[res][i].first+1;
sum %= MOD;
}
注意特判一下 \(ans=1\) 时，每一对 \((i,i)\) 都是合法的，所以加上 \(min(X,Y)\)
