LGV引理

对于一个有向无环图，边权均属于某交换群，一条路径的权值为边权的乘积，一个路径集合的权值为所有路径权值的乘积。设点集 \(S=\{a_1\cdots a_n\},\ T=\{b_1\cdots b_n\}\)。

求出所有路径集合 \(P={p_1\cdots p_n}\) 的权值和，使得 \(p_i:a_i\to b_i\)，且任意两条路经不经过同一个点。

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设 \(e(i,j)=\sum_{p:i\to j}p_{val}\)

根据LGV引理有

\[M=\begin{bmatrix}e(a_1,b_1)&\cdots &e(a_1,b_n)\\\vdots&\ddots&\vdots\\e(a_n,b_1)&\cdots&e(a_n,b_n)\end{bmatrix} \]

\[ans=\det(M) \]