21.6.18 t2

tag:概率期望，bit，dfs序

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考虑每一条实链 \((u,v)\)(\(v\) 为 \(u\) 的祖先) 的贡献。如果最终有一条极长实链 \((u,v)\)，那么对于 \(v\) 子树中所有点，\(u\) 一定是操作序列中最后一个；同样的对于 \(fa_v\) 子树中所有点，\(v\) 一定不是操作序列中最后一个。

设 \(s_x=\sum_{lca(x,i)=x} a_i\)，那么这个概率就等于 \(\frac{s_u}{s_v}\cdot(1-\frac{s_v}{s_{fa_v}})\)。

可以这么理解，\(P=\frac{\text{x为最后一个的排列个数}}{\text{排列个数}}=\frac{\text{x为第一个的排列个数}}{\text{排列个数}}\)（翻转一下就可以一一对应）

所以答案就是

\[\sum_{lca(u,v)=v}\frac{s_u}{s_v}\cdot(1-\frac{s_v}{s_{fa_v}})\cdot(d_u-d_v)^k \]

暴力展开以后可以得到若干项，且每一项都是（一个常数）*（关于 \(u\) 的式子）*（关于 \(v\) 的式子），所以可以枚举 \(u\)，用数据结构维护 \(v\)。

对于一次修改只会影响 \(O(1)\) 个点，直接暴力更新答案就行。

复杂度 \(O((n+m)klogn)\)