CF1739 C. Card Game

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题意简述

有这样一个游戏 , 有一摞编号为 $1\sim n$ 的卡片( 保证 $n$ 为偶数),编号大的卡片比编号小的卡片更"强".
两名玩家玩这个游戏,他们平均分这 $n$ 张卡片 ,即每个人有 $\frac{n}{2}$张卡片.这也就意味着一张牌只可能属于一个玩家.
每一个玩家的回合: 第一个玩家先出牌,然后下一个玩家出一张更强的牌. 如果一个玩家出牌后对手没有更大的牌,那么这个玩家就赢了. 一个玩家的回合结束后,轮到另一个玩家的回合. 如果某个回合结束后两个玩家都没有牌了,那么游戏平局.

给你牌的个数 $n$ ,请分别计算出 玩家 $A$ 赢, 玩家 $B$ 赢,平局 的牌的分配方法数

样例

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分析

解法有很多,官方题解是 $DP$ 或 组合数学(详见 $Tutorial$ )

下面给出另一种解法(其实是没看懂官方题解)

注意,在一个玩家的回合结束后,另一个玩家的回合开始,这意味着: A打出牌后,B跟着打出,然后B再打出牌,A再跟着打出.

考虑 $n$ 张牌的情境.
当 $n=2$ 时, 只有两种情况,要么 $A$ 赢,要么平局.
当 $n>2$时
如果 $A$ 拿 $n$ 号牌, 那么 $A$ 一定获胜. 此时 $A$ 赢的牌的分配方案有 $C_{n-1}^{\frac{n}{2}}$
下面只考虑 $B$ 拿 $n$ 号牌的情况

$$tips:\mathrm{事}\mathrm{实}\mathrm{上},A\mathrm{必}\mathrm{须}\mathrm{首}\mathrm{先}\mathrm{打}\mathrm{出}\mathrm{一}\mathrm{张}\mathrm{比}B\mathrm{的}\mathrm{手}\mathrm{牌}\mathrm{里}\mathrm{除}n\mathrm{以}\mathrm{外}\mathrm{的}\mathrm{牌}\mathrm{都}\mathrm{大}\mathrm{的}\mathrm{牌},\mathrm{把}B\mathrm{的}n\mathrm{号}\mathrm{牌}\mathrm{逼}\mathrm{出}\mathrm{来},\mathrm{否}\mathrm{则}:\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{给}B\mathrm{机}\mathrm{会}\mathrm{先}\mathrm{打}\mathrm{了}\mathrm{一}\mathrm{张}\mathrm{小}\mathrm{牌},\mathrm{然}\mathrm{后}B\mathrm{把}n\mathrm{打}\mathrm{出}\mathrm{来},\mathrm{那}\mathrm{么}A\mathrm{就}\mathrm{输}\mathrm{了}.$$

如果 $B$ 拿 $n$ 号牌
  如果 $B$ 拿 $n-1$ 号牌,那么无论 $A$ 打出任何牌 , $B$ 用 $n$ 号牌响应,然后$B$打出 $n-1$ 号牌即可获胜.
  如果 $A$ 拿 $n-1$ 号牌,
    如果 $B$ 拿 $n-2$ 号牌 ,那么 $B$ 赢了,因为①如果 $A$ 打出 $n-1$ 号牌时, $B$ 使用 $n$ 号牌,然后打出 $n-2$ 号牌,然后 $B$ ,获胜.②如果 $A$ 打出其他牌, $B$ 使用 $n-2$ 号牌,然后打出 $n$ 号牌即可获胜.
    如果 $A$ 拿 $n-2$ 号牌
      如果 $B$ 拿 $n-3$ 号牌 : $A$ 先出 $n-2$ 号牌把 $B$ 的 $n$ 号牌逼出,然后 $B$ 出 $n-3$ 号牌, $A$ 用 $n-1$ 号牌响应 .然后再轮到 $A$ 出牌,注意,由于$n-3\sim n$ 的牌都用掉了,此时相当于从 $n-4$ 的牌堆中出牌.如果此时没有牌了,则平局
      如果 $A$ 拿 $n-3$ 号牌, $B$ 无论怎么拿都输了 , $A$ 先逼出 $B$ 的 $n$ 号牌 ,然后 $B$ 剩下的牌比 $A$所有牌都小. $B$ 无论出哪张, $A$ 都能响应,然后 $A$ 再出一张牌 , $B$ 就无法响应了, $B$ 输. 这为 $A$ 提供了 $C_{n-4}^{\frac{n}{2}-1}$ 种方案

综上所述:
当 $n\ge 4$时. $A$ 赢的情况有 $f(n)=C_{n-1}^{\frac{n}{2}}+C_{n-4}^{\frac{n}{2}-1}+f(n-4)$
平局的情况只有 $1$ 种 , $B$ 赢的情况有 $C_n^{\frac{n}{2}}-1-f(n)$
当 $n<4$时,显然 $n$ 只能取 $2$,那么 $A$ 赢的方案只有给 $A$ $2$ 号牌,给 $B$ $1$ 号牌.平局的话就是把 $2$号牌给 $B$ . 也即 $f(2)=1$

代码

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int mod =998244353;
int n=10;
const int N = 70;
long long int c[N][N];//记录组合数.
long long int f[N];

int choose()
{
	//从大佬那学来的求组合数的方法.
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			if(j==0)c[i][j]=1; 
			else c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
		}	
	}
	f[2]=1;
	for(int i=4;i<=n;i+=2)
	{
		f[i]=c[i-1][i/2]+c[i-4][i/2-1]+f[i-4];
		f[i]%=mod;
	}
	printf("%lld %lld %lld\n",f[n],(c[n][n/2]-f[n]-1+mod)%mod,1LL);
	return 0;
}
int main()
{
	//freopen("uva.txt","r",stdin);
	
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		choose();
	}
	
	return 0;
}

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