CF Good Bye 2022: 2023 is NEAR (CF1770C)

C.Koxia and Number Theory

题意:给定 n 个数,问是否存在一个正整数 x ,使得对 $\mathrm{\forall }i,j\in [1,n]$ ,有 $gcd(a_i+x,a_j+x)=1$

题解1:
找 $x$ 使得 $a_i+x$ 互素.

给定数 $p$ ,若 p 可以整除 $a_i+x$ 中的两个,那么一定不满足题意.

设 $a_i\mathrm{\%}p=k$,这时候 $x$ 如果取 $p-k$,那么就整除.所以如果有 $a_i\mathrm{\%}p$ 和 $a_j\mathrm{\%}p$ 相同 ,那 $x$ 一定不能取 $p-k$.不然他们的最大公因数至少是 $k$. $a\mathrm{\%}p$ 的取值为 $[0,p-1]$ ,如果取值都至少有两个,那么 $x$ 无论取何值, 一定存在两个 $a_i+x$ ,对 $p$ 取模后为 $0$ ,即一定存在使得最大公因数至少为 $p$

题解2:

感觉这题挺难的,想了很多次也没想出来.

若两个数互质,一定不存在质数 $p$ 使得 $p$ 能整除这两个数.

如果存在一个质数使得 $p$ 能整除至少两个数,也就说明这两个数一定不互质.

令 $b_i=a_i+x$
那么,能否判断对于 $p$ ,是否总是整除至少两个 $b_i$ ?(无论 $x$ 的取值)

对于 $a_i\mathrm{\%}p=k$ ,显然当取 $x=p-k$ 就整除了.

那么如果 $a_i\mathrm{\%}p$ 的模数 $[0,p-1]$ 都至少出现了两次,那么无论 $x$ 怎么取值,一定都会使得某个 $a_i+x$ 变成 $0$ (出现至少两次,那么至少有两个这样的 $i$ ),这样他们的最大公约数一定至少是 $p$ ,这样直接输出 $NO$

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long

const int N = 1e6+10;
int primes[N];
int vis[N];
int idx = 0;
void getprime()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
            primes[idx++] = i;
        for(int j=i+i;j<N;j+=i)
        {
            vis[j] = 1;
        }
    }
}
typedef pair<int,int> PII;;

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> a(n);
    map<int,bool> vis;
    int flag = 1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        if(vis[a[i]])
        {
            flag =0;
        }
        vis[a[i]]=1;
    }
    if(!flag)
    {
        cout<<"NO\n";
        return ;
    }
    for(int u =0;u<idx&&primes[u]<=(n+1)/2;u++)
    {
        int p = primes[u];

        // priority_queue< PII,vector<PII>,greater<PII> >q;

        map<int,int> mp;
        for(int i = 0;i<n;i++)
        {  
            int num = a[i]%p;
            mp[num]++;
            // q.push({mp[num],num});
        }
        int flag = 0;
        for(auto[x,y]:mp)
        {
            if(y<2)
            {
                flag =1;
            }
        }
        if(!flag)
        {
            cout<<"NO\n";
            return ;
        }
    }
    cout<<"YES\n";

}

signed main()
{
    getprime();
    // for(int i=0;i<10;i++)
    // {
    //     cout<<primes[i]<<'\n';
    // }
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
        solve();

    return 0;
} 

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