1275：【例9.19】乘积最大

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题意简述

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

• 3*12=36

• 31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62。

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

样例

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分析

本题探讨的是一个序列在区间上的性质，因此用区间DP
最外层枚举用的乘号的个数
用$dp[i][k]$表示前$i$个数字中使用$k$个乘号
然后求前$k+1,k+2,...,n$的序列用$k$个乘号所能得到的最大值
其中对于前 $i$ 个字符的序列,用 $m$ 个乘号相乘时,只需先列出来前 $m,m+1,...,i-1$ (记为$j$ ) 个字符的序列用 $m-1$ 个乘号的最大值,然后第 $m$ 个乘号的位置就是在第 $j$ 个字符后.
其最大值的求法是先得到前$m,m+1,...,i-1$个字符用$m-1$个乘号的最大值 $dp[j][m-1]$ ,然后乘以 $a[j+1][i]$ . 取$max$ 即可.
$dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[j][k-1]\ast num[j+1][i])$

预处理:
$a[i...j]$表示了$str[i...j]$组成的数字
$dp[i][0]$即前i个字符用$0$个乘号得到的结果,自然是$a[1][i]$

代码

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#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20;
LL a[N][N];
LL dp[N][N];
char s[N];
int main()
{
	//freopen("uva.txt","r",stdin);
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	scanf("%s",s+1);
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		a[i][i] = s[i]-'0';
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		LL t = a[i][i];
		for(int j = i+1;j<=n;j++)
		{
			a[i][j] = t*10 + a[j][j];
			t = a[i][j];
		//	printf("%d %d %lld\n",i,j,a[i][j]);
		}
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)dp[i][0] = a[1][i];
	
	for(int m = 1;m <= k ;m ++)
	{
		for(int i = m + 1;i <= n ;i++)
		{
			for(int j = m ;j < i ;j++)
			{
				dp[i][m] = max(dp[i][m],dp[j][m-1]*a[j+1][i]); 
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",dp[n][k]);
	return 0;
}

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