THUWC前集训Day6
THUWC前集训Day6
T1 string
关键就是求串\(S\)的所有本质不同子串的本质不同子串数量和，记为1型串和2型串。
首先你最好做过区间本质不同子串数量，和那个是一样的套路。
就是先建SAM，然后依次加入右端点\(r\)并考虑所有以\(r\)为右端点的子串。对SAM的影响就是改变了一条到根的链上的所有点的endpos，钦定所有2型串在当前最晚的出现位置产生贡献。从下往上爬这条链，如果某个点之前已经被访问过，那么其表示的所有子串的贡献都撤销（在线段树上区间-1即可），并标记为被\(r\)访问。最后将\([1,r]\)区间+1.此时线段树上\([l,r]\)的区间和即为\([l,r]\)的本质不同子串数量，爬的过程可以用LCT维护，可以做到每个\(r\)复杂度均摊\(\mathcal O(\log n)\)。
现在要对所有1型串求这个事情。我的做法是让每个1型串在最早的出现位置产生贡献，先假设都不同，答案加上\(\sum_{i=1}^rSum(i,r),Sum(i,r)\)为线段树上\([i,r]\)区间和 。爬的时候如果某个点之前已经被访问过，那么将其贡献（设其表示了\([minl,maxl]\)这些串，那么贡献为\(\sum_{i=minl}^{maxl}Sum(i,r)\) ）撤销。令线段树维护区间加，询问区间后缀和的和即可。
复杂度\(\mathcal O(n\log n)\). （注意不是2个log，LCT的虚实边切换是均摊\(O(1)\)的）
T2 Cubelia
关键就是询问一个区间的所有子区间的最小值之和。
离线可以莫队或者排序之后线段树，不必展开。
做法是求出最小值位置\(pos\),那么区间分三种：跨越\(pos\),在\([l,pos-1]\)中，在\([pos+1,r]\)中。
以\([pos+1,r]\)为例。先用单调栈预处理\(g(i)=\sum_{j=1}^i\max_{k=j}^ia_k\)。那么\([1,i]\)的答案即为\(\sum_{j=1}^ig(j)\).
用\([1,r]\)的答案减去\([1,pos]\)的答案即为右端点在\([pos+1,r]\)中的所有子区间最小值之和，我们再容斥掉左端点在\([1,pos]\)右端点在\([pos+1,r]\)的部分：因为\(pos\)是\([l,r]\)的最小值，\(\forall pos<i\le r,s_i>s_{pos}\)，所以容斥掉的部分就是\(g(pos)\times (r-pos)\).
RMQ可以ST表或分块ST表（或标准RMQ，若你愿意）。复杂度\(\mathcal O(n\log n+Q)\)或\(\mathcal O(n+Q)\)
T3 背包++
法一：
令\(f(i,j,k)\)表示考虑前\(i\)个物品，体积为\(j\)能否由\(k\)种物品拼成。
暴力转移+bitset压位可以做到\(O(n^4/\omega)\)
将所有\(mod\ v=p\)的\(k\)一起考虑。实际上就变成询问若干段区间的bitset的or的结果（开始一些区间长度不足\(c\)，之后全为\(c\)）。每\(c\)位设一个关键点，处理前面\(k\)个bitset的or的结果和后面\(k\)个bitset的结果，查询就找一个最近的关键点查询。
复杂度\(\mathcal O(n^3/\omega)\).
