[理科生的日常-3] 斑羚飞渡
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部分 OIerSuperTer 原创
部分 摘自《生活中的物理化学 2010年第7-8期》
链接来自 百度知道＠水军路过k尉
版本：1.0.0.0.1
目录
1 概述和前置信息
2 所需公式
3 初速度
4 空中对接
|---4.1 分析
|---4.2 最佳位置
5 能否跳过去
6 全过程
1 概述和前置信息
本文使用了大量\(LaTeX\)，可能导致加载速度过慢！
课文《斑羚飞渡》讲述了危急时刻，
小羚羊在空中与老羚羊实现对接，
成功到达对岸的故事。
这样的本质是三次斜上抛运动。
假设山涧\(S\)长\(6 m\)，
不计空气阻力。
2 所需公式
注：\(\theta\) 指起跳角，\(v_0\) 指初速度
射程 \(x=\dfrac{{v_0}^2·\sin{2\theta}}{g}\)
射高 \(H=\dfrac{{v_0}^2·\sin^2\theta}{2g}\)
飞行时间 \(T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}\)
时刻位置
\(x=v_0t\cos\theta\)
\(y=v_0t\sin\theta-\dfrac{1}{2}gt^2\)
轨迹 \(y=\tan\theta x-\dfrac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\theta}\)
3 初速度
按照最佳起跳角（\(45°\)），链接
大斑羚能跳\(5 m\)，小斑羚能跳\(4 m\)。
可求出：（\(v_1\)为大羊起跳角，\(v_2\)为小羊起跳角）
\(v_1=\sqrt{\dfrac{gx_1}{\sin 90°}}=\sqrt{50} m/s\)
\(v_2=\sqrt{\dfrac{gx_2}{\sin 90°}}=\sqrt{40} m/s\)
假设所有羚羊都按照最大速度进行起跳，容易得出轨迹
4 空中对接
4.1 分析
上图中，两羊的轨道没有交点。
若小羊倾尽全力跳（即\(\theta=45°\)），
大羊为了配合小羊，轨道必须低于小羊
（也就是不能像迫击炮一样打）
两羊实现对接，大羊的速度快且距离短，
所以到达对接点用时一定早与小羊。
4.2 最佳位置
首先，在山涧中，体长\(1 m\)的羚羊不能看成质点
所以最后落地时，假设整个身体都落在地上。
在小羚羊到达最高点时，位置是
\((2.5 m,1 m)\)
故尝试在\(2.5 m\)处进行对接。
小羚羊到达对接点所用的时间
\(t_1=\dfrac{x}{v_1\cos\theta}=\dfrac{2.5}{\sqrt{40}·\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=0.56 s\)
此时纵坐标高度
\(h=x\tan\theta-\dfrac{gx^2}{2{v_1}^2\cos^2\theta}\)
故对接点位于 \((2.5 m,0.94 m)\)
大羊需要到达这个地方，起跳角
\(\sin^2\theta=\dfrac{2gh}{{v_2}^2}=0.376\)
\(\sin\theta=0.613\)
易得\(\theta=38°\)
大羊飞行时间为
\(\dfrac{v_2\sin\theta}{g}=0.44 s\)
两只羊存在时间差
\(0.56 s-0.44 s=0.12 s\)
所以大羊比小羊晚\(0.12 s\)出发即可。
5 能否跳过去
此时小羊的高度为\(0.94 m\)，
还需要\(t_1\)秒落地
\(h=v_1\sin\theta t+\dfrac{1}{2}gt^2\)
带入方程
\(5t^2+4.5t-0.94=0\)
\(t=0.18 s\)
这段时间中，小羊水平射程为
\(S=v_1\cos\theta t=\sqrt{40}·\dfrac{\sqrt{2}}{2}·0.18=0.81 m\)
我们算一下总水平射程
小羊从起跳到对接点 \(2.5 m\)
空中一次完整的跳跃 \(4 m\)
最后的斜下抛运动 \(0.81 m\)
总和为\(7.31 m\)
足以跳过山涧，整个身体都在岸上！
6 全过程
1 小羊以最快速度、\(45°\)起跳角进行跳跃
2 大羊在小羊跳出后\(0.12 s\)以最快速度、\(38°\)起跳角进行跳跃
3 在大羚羊轨迹的最高点与小羊实现对接
4 小羊完成一次完整的跳跃
5 经过斜下抛运动，小羊成功到达对岸
