浅析Koch曲线

先放图：

诶？真是奇怪，为啥这些由直线构成的图形叫做曲线呢？

因为这个图形可以无限变换，无数条直线，组合起来不就是一条曲线吗？比如说圆，我们可以说它是曲线图形，也可以说它是正无限多边形。

这个Koch曲线又叫雪花曲线，每一次的变化就是把每一条边，长度变为原来的\(\frac{4}{3}\)。

每一次，每条边就从中间凸起一个正三角形，然后周长增加\(\frac{1}{3}\)。

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然后，我们再来分析一下这个Koch曲线的诡异性质：

性质1：它虽然连续，但是没有切线，不可微。

性质2：它是自相似的，自相似就是指把图形一部分放大，其形状与整体相同。

性质3：它的周长可以无限延长，但是面积始终是收敛的。

好毒瘤的性质啊。

特别是性质3。

为什么它的周长可以无限延长但是面积却可以不超过某个值呢？

先发扬我们Oier的优良传统：推式子

周长：

假设初始的正三角形的周长为\(L\)，那么每经过一次变化，周长就能增加到原来的\(\frac{4}{3}\),\，所以说，如果用\(L_n\)来表示n次变换后的周长，那么当\(n\to\infty\)的时候，周长\(L_n\to\infty\)即\(\lim\limits_{n\to\infty}L_n=\infty\)

面积：

面积的推导有点麻烦，但是如果用上OI中的递推法和一点点小学数学就能推出。

设，\(S_n\)表示第n个图形的面积，\(S\)为初始的正三角形面积，易知\(S=S_1\)

接着往下推导：

\(S_2=S_1+3\times4^0\times(\frac{1}{3})^2S\)

\(S_3=S_2+3\times4^1\times(\frac{1}{3})^{2\times2}S\)

\(……………………\)

\(S_n=S_{n-1}+3\times4^{n-2}\times(\frac{1}{3})^{2(n-1)}S\)

然后迭代展开,得到：

\(S_n=S_1+3\times4^0\times(\frac{1}{3})^2 S+3\times4^1\times(\frac{1}{3})^{2\times2}S+……+3\times4^{n-2}\times(\frac{1}{3})^{2(n-1)}S\)

其实这一步在OI中把递归改为了线性递推式。

提取公因式，得：

\(S_n=S_1+3S[4^0\times(\frac{1}{3})^2 S+4^1\times(\frac{1}{3})^{2\times2}+……+4^{n-2}\times(\frac{1}{3})^{2(n-1)}]\)

设中括号中的式子为\(A\)，推导\(A\):

中括号内的数列为等比数列，首项为\((\frac{1}{3})^2\),公比为\(4\times(\frac{1}{3})^2\),然后套等比数列的式子，得到

\(A=\frac{(\frac{1}{3})^2\times \{1-[4\times(\frac{1}{3})^2]^{n-1}\}}{1-4\times(\frac{1}{3})^2}\)

然后经过一番计算后（实际上是我懒得打\(\LaTeX\)），推导出来：

\(A=\frac{1}{5}\times[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]\)

然后把\(A\)带回去，得到：

\(S_n=S_1+\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]S\)

\(∵S_1=S\)

\(∴S_n=\{1+\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]\}S\)

当\(n\to\infty\)时，\(S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\{1+\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]\}S\)

然后？要求极限了……菜鸡scw数列的极限没学好555……

\(S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\{1+\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]\}S\)

\(=\{\lim\limits_{n\to\infty}1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3}{5}\times\lim\limits_{n\to\infty}[1-(\frac{4}{9})^{n-1}]\}S\)

\(=S+\frac{3}{5}\times[\lim\limits_{n\to\infty}1-\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{4}{9})^{n-1}]S\)

\(=S+\frac{3}{5}\times(1-0)S\)

\(=S+\frac{3}{5}S\)

\(=1.6S\)

呼~终于推完式子了……

看到了嘛，这个在无限变化后，面积收敛于一开始正三角形面积的1.6倍。

好鬼畜啊qwq

（未完待续qwq）