斜率优化dp学习笔记

例题：

洛谷P2900 [USACO08MAR]Land Acquisition G

分析与转化

可以发现，有一些东西是完全没用的

当一个矩形的长和宽都比另一个矩形小的时候，这个矩形就是废的，因为他完全可以套在另外那个矩形一起买

这时候我们就能发现：我们得到了一个长度递减，宽度递增的矩形序列

而要求的就是使得在其划分出一些段之后，总代价最小

于是乎我们可以列出方程（显然这是dp）：

$dp_{i} = max (dp_{j} + w_{j+1} \times h_{i})$

于是我们就能够 $O (n^2)$ 的解决了

套用斜率优化

划重点：

斜率优化通用式子:

$b = y - kx$

其中 $b$是我们想要知道的，$y,x$ 都为前面的“转移项” $k$ 为当前要求的“特有”的系数

我们必须要保证x是递增的，k随意，b我们这里希望他最小

---

我们观察式子，发现只有一个项与 $i$ 和 $j$ 都有关

于是我们令：

$x=-w_{j+1}$ （为了保证递增）

$y=dp_{j}$

$k=h_{i}$

$b=dp_{i}$

可以发现，我们这样设完了以后，就能够把转移看作：

在一个二维数点当中，有一条直线已经定了斜率，要求截距最小

如图：

所以我们就能够通过维护下凸壳，并在下凸壳上二分来求得转移位置了

---

补充

还有一个情况，当你化成二维数点以后要求截距最大

这时候你就需要维护上凸壳

于是上下凸壳的区分就是这么来的

代码实现

补充：有时候h不一定像这样单调的，所以必须二分，一下是兼容性比较强的代码（板子）：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e4+10;
struct modify {
	ll w,h;
};
modify a[N],c[N];
bool cmp(modify x,modify y) {
	if(x.w==y.w) return x.h>y.h;
	else return x.w>y.w;
}
int n,cnt;
ll dp[N];
/*
define:
x: -w_{j+1}
k: h_{i}
y: dp_{j}
b: dp_{i}
*/
int st[N],sttop;
int find(ll k) {
	int l=1,r=sttop-1,res=sttop;//注意边界
	while(l<=r) {
		int mid=(l+r)/2;
		if((dp[st[mid+1]]-dp[st[mid]])>=k*(-c[st[mid+1]+1].w+c[st[mid]+1].w)){//二分&&除法转乘法
			res=mid;r=mid-1;
		} else {
			l=mid+1;
		}
	}
	return st[res];
}
int main() {
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		cin>>a[i].w>>a[i].h;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i].h>c[cnt].h)
			c[++cnt]=a[i];
	}
	st[++sttop]=0;//注意边界
	for(int i=1;i<=cnt;i++) {
		int j=find(c[i].h);
		dp[i]=dp[j]+c[j+1].w*c[i].h;//按照原来的方程转移（切记不要直接用x，y）
		while(sttop&&
		(dp[st[sttop]]-dp[st[sttop-1]])*(-c[i+1].w+c[st[sttop]+1].w) >
		(dp[i]-dp[st[sttop]])*(-c[st[sttop]+1].w+c[st[sttop-1]+1].w))//同样
			sttop--;
		st[++sttop]=i;
	}
	cout<<dp[cnt];
	return 0;
}

于是这题就完成了

题目总结

0. 把原来方程转化为上述式子，使得：x递增（关键！！）

1. 在二分和推单调栈的时候，一定要手画出边界，不然会错

2. 涉及除法判断时，尽可能转long long，避免丢精度