P1943 LocalMaxima

Solution

我们直接考虑一个数成为 $\text{LocalMaxima}$ 的期望，我们发现满足要求只能是前面的数都比他小，假设这个数是$x$，前面的数的取值就只能是 $1\sim x-1$，答案就是：

$$\frac{\sum_{i=0}^{x-1} A(x-1,i)\times (n-i-1)! }{n!}$$

$$\frac{\sum_{i=0}^{x-1} (x-1)!/(x-1-i)!\times (n-i-1)! }{n!}$$

$$(x-1)!\times \frac{\sum_{i=0}^{x-1} (n-i-1)!/(x-1-i)! }{n!}$$

$$(x-1)!\times \frac{\sum_{i=0}^{x-1} A(n-i-1,n-x) }{n!}$$

那么我们现在要求的就是 $\sum_{i=0}^{x-1} A(n-i-1,n-x)$。

我们给他除一个 $(n-x)!$，就转化成了求 $\sum_{i=0}^{x-1} C(n-i-1,n-x)$,答案是 $C(n,n-x+1)$

把 $(x-1)!$ 放回来，那么有:

$$\frac{n!/(n-x+1)!\times(n-x)! }{n!}$$

$$\frac{\prod_{i=n-x+2}^{n} i\times \prod_{j=1}^{n-x} j }{n!}$$

$$\frac{1}{n-x+1}$$

当然 $n\ge 1000000$ 的部分要用调和级数近似公式。

Code

for i:=1 to n do x:=x+1/(n-i+1);

writeln(ln(n+1)+0.57721566490153286060651209:0:8);